$a$, $b$, $c$ は整数で、$a > 0$, $b^2 - 4ac < 0$ を満たす。放物線 $y = ax^2 + bx + c$ と $x$ 軸, $y$ 軸および直線 $x = n+1$ で囲まれた図形を $V$ とする。すべての自然数 $n$ に対して, $V$ の内部にある格子点の個数が $n^3$ となるのは、$a$, $b$, $c$ がいくつのときか。

1. 問題の内容

$a$, $b$, $c$ は整数で、$a > 0$, $b^2 - 4ac < 0$ を満たす。放物線 $y = ax^2 + bx + c$ と $x$ 軸, $y$ 軸および直線 $x = n+1$ で囲まれた図形を $V$ とする。すべての自然数 $n$ に対して, $V$ の内部にある格子点の個数が $n^3$ となるのは、$a$, $b$, $c$ がいくつのときか。

2. 解き方の手順

$V$ の内部にある格子点の個数を求める。$x=k$ ($k=0, 1, 2, \dots, n$)における格子点の個数は、$ax^2 + bx + c$ の整数部分である。

したがって、格子点の個数は

$$\sum_{k=0}^n (ak^2 + bk + c) = a \sum_{k=0}^n k^2 + b \sum_{k=0}^n k + c \sum_{k=0}^n 1 = a \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + b \frac{n(n+1)}{2} + c(n+1)$$

となる。問題文より、この値が $n^3$ に等しいので

$$a \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + b \frac{n(n+1)}{2} + c(n+1) = n^3$$

$$a \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{6} + b \frac{n^2 + n}{2} + c(n+1) = n^3$$

両辺に 6 を掛けると

$$a (2n^3 + 3n^2 + n) + 3b (n^2 + n) + 6c(n+1) = 6n^3$$

$$(2a - 6)n^3 + (3a + 3b)n^2 + (a + 3b + 6c)n + 6c = 0$$

これが任意の $n$ で成立するためには、各係数が 0 でなければならない。

\begin{align*}

2a - 6 &= 0 \\

3a + 3b &= 0 \\

a + 3b + 6c &= 0 \\

6c &= 0

\end{align*}

したがって、$a = 3$, $b = -a = -3$, $c = 0$

3. 最終的な答え

$a=3$, $b=-3$, $c=0$

シ=3, スセ=-3, ソ=0