不等式 $a^{2x-2} - a^{x+3} - a^{x-4} + a \le 0$ を、$0 < a < 1$ の条件下で解く。

1. 問題の内容

不等式 $a^{2x-2} - a^{x+3} - a^{x-4} + a \le 0$ を、$0 < a < 1$ の条件下で解く。

2. 解き方の手順

与えられた不等式を整理する。

$a^{2x-2} - a^{x+3} - a^{x-4} + a \le 0$

$a^{2x} a^{-2} - a^{x} a^{3} - a^{x} a^{-4} + a \le 0$

$a^{2x} / a^{2} - a^{x} a^{3} - a^{x} / a^{4} + a \le 0$

両辺に $a^2$ を掛ける。($a^2 > 0$ なので不等号の向きは変わらない)

$a^{2x} - a^{x+5} - a^{x-2} + a^3 \le 0$

$a^{2x} - a^{x+5} - a^{x-2} + a^3 \le 0$

$a^{2x} - a^{x} a^{5} - a^{x} / a^{2} + a^3 \le 0$

$a^{2x} - a^{5} a^{x} - a^{-2} a^{x} + a^3 \le 0$

$a^{2x} - (a^{5} + a^{-2}) a^{x} + a^3 \le 0$

両辺に $a^{x-4}$を足して、$a$を引く。

$a^{2x-2} - a^{x+3} - a^{x-4} + a \le 0$

$a^{2x-2} - a^{x+3} - a^{x-4} + a \le 0$

$a^{2x-2} - a^{x-4} - a^{x+3} + a \le 0$

$a^{x-4}(a^{x+2} - 1) - a(a^{x+2} - 1) \le 0$

$(a^{x-4} - a)(a^{x+2} - 1) \le 0$

$(a^{x-4} - a)(a^{x+2} - 1) \le 0$

$(a^{x-4} - a^{1})(a^{x+2} - a^0) \le 0$

$0 < a < 1$ であるから、指数関数は単調減少である。

したがって、以下の2つのケースを考える。

ケース1: $a^{x-4} \ge a^1$ かつ $a^{x+2} \le a^0$

$x-4 \le 1$ かつ $x+2 \ge 0$

$x \le 5$ かつ $x \ge -2$

$-2 \le x \le 5$

ケース2: $a^{x-4} \le a^1$ かつ $a^{x+2} \ge a^0$

$x-4 \ge 1$ かつ $x+2 \le 0$

$x \ge 5$ かつ $x \le -2$

この条件を満たす $x$ は存在しない。

したがって、解は$-2 \le x \le 5$。

3. 最終的な答え

$-2 \le x \le 5$