数列 $\{a_n\}$ が漸化式 $a_{n+2} - 4a_{n+1} + 3a_n = 1$ および初期条件 $a_1=1, a_2=2$ を満たすとき、数列 $\{b_n\}$ を $b_n = a_{n+1} - a_n$ で定義する。このとき、以下の問いに答える。 (1) $b_{n+1}$ と $b_n$ の間の関係式を求める。 (2) 数列 $\{b_n\}$ の一般項を求める。 (3) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が漸化式 $a_{n+2} - 4a_{n+1} + 3a_n = 1$ および初期条件 $a_1=1, a_2=2$ を満たすとき、数列 $\{b_n\}$ を $b_n = a_{n+1} - a_n$ で定義する。このとき、以下の問いに答える。

(1) $b_{n+1}$ と $b_n$ の間の関係式を求める。

(2) 数列 $\{b_n\}$ の一般項を求める。

(3) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

2. 解き方の手順

(1) $b_{n+1}$ と $b_n$ の関係式を求める。

与えられた漸化式 $a_{n+2} - 4a_{n+1} + 3a_n = 1$ を変形する。

$a_{n+2} - a_{n+1} - 3(a_{n+1} - a_n) = 1$

$b_{n+1} = a_{n+2} - a_{n+1}$ および $b_n = a_{n+1} - a_n$ を代入すると、

$b_{n+1} - 3b_n = 1$

(2) 数列 $\{b_n\}$ の一般項を求める。

$b_{n+1} - 3b_n = 1$ を変形する。

$b_{n+1} + \frac{1}{2} = 3(b_n + \frac{1}{2})$

$b_1 = a_2 - a_1 = 2 - 1 = 1$ より、 $b_1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

数列 $\{b_n + \frac{1}{2}\}$ は、初項 $\frac{3}{2}$、公比 $3$ の等比数列である。

$b_n + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \cdot 3^{n-1} = \frac{1}{2} \cdot 3^n$

よって、 $b_n = \frac{1}{2} \cdot 3^n - \frac{1}{2} = \frac{3^n - 1}{2}$

(3) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

$b_n = a_{n+1} - a_n$ より、

$a_{n+1} - a_n = \frac{3^n - 1}{2}$

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (a_{k+1} - a_k) = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{3^k - 1}{2} = 1 + \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n-1} (3^k - 1)$

$a_n = 1 + \frac{1}{2} (\sum_{k=1}^{n-1} 3^k - \sum_{k=1}^{n-1} 1) = 1 + \frac{1}{2} (\frac{3(3^{n-1} - 1)}{3-1} - (n-1)) = 1 + \frac{1}{2} (\frac{3^n - 3}{2} - n + 1)$

$a_n = 1 + \frac{3^n - 3 - 2n + 2}{4} = \frac{4 + 3^n - 1 - 2n}{4} = \frac{3^n - 2n + 3}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $b_{n+1} = 3b_n + 1$

(2) $b_n = \frac{3^n - 1}{2}$

(3) $a_n = \frac{3^n - 2n + 3}{4}$