三角形ABCにおいて、与えられた情報から残りの辺の長さと角度を求める問題です。 (1) $BC = 6$, $CA = 2\sqrt{3}$, $\angle A = 60^\circ$ (2) $BC = 2$, $CA = \sqrt{6}$, $AB = 1 + \sqrt{3}$

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、与えられた情報から残りの辺の長さと角度を求める問題です。

(1) $BC = 6$, $CA = 2\sqrt{3}$, $\angle A = 60^\circ$

(2) $BC = 2$, $CA = \sqrt{6}$, $AB = 1 + \sqrt{3}$

2. 解き方の手順

(1)

余弦定理を用いて$AB$の長さを求めます。

$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2 \cdot AB \cdot CA \cdot \cos A$

$6^2 = AB^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot AB \cdot 2\sqrt{3} \cdot \cos 60^\circ$

$36 = AB^2 + 12 - 4\sqrt{3} \cdot AB \cdot \frac{1}{2}$

$AB^2 - 2\sqrt{3}AB - 24 = 0$

$AB = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{(2\sqrt{3})^2 - 4(1)(-24)}}{2}$

$= \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{12 + 96}}{2}$

$= \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{108}}{2}$

$= \frac{2\sqrt{3} \pm 6\sqrt{3}}{2}$

$= \sqrt{3} \pm 3\sqrt{3}$

$AB > 0$なので、$AB = 4\sqrt{3}$

次に、正弦定理を用いて$\angle C$を求めます。

$\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A}$

$\frac{4\sqrt{3}}{\sin C} = \frac{6}{\sin 60^\circ}$

$\frac{4\sqrt{3}}{\sin C} = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$\sin C = \frac{4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{6} = \frac{4\cdot 3}{2 \cdot 6} = 1$

したがって、$\angle C = 90^\circ$

$\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 60^\circ - 90^\circ = 30^\circ$

(2)

余弦定理を用いて$\angle B$を求めます。

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B$

$(\sqrt{6})^2 = (1+\sqrt{3})^2 + 2^2 - 2(1+\sqrt{3})(2)\cos B$

$6 = 1+2\sqrt{3}+3 + 4 - 4(1+\sqrt{3})\cos B$

$6 = 8+2\sqrt{3} - 4(1+\sqrt{3})\cos B$

$-2-2\sqrt{3} = -4(1+\sqrt{3})\cos B$

$\cos B = \frac{2(1+\sqrt{3})}{4(1+\sqrt{3})} = \frac{1}{2}$

$\angle B = 60^\circ$

正弦定理を用いて$\angle A$を求めます。

$\frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A}$

$\frac{\sqrt{6}}{\sin 60^\circ} = \frac{2}{\sin A}$

$\frac{\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sin A}$

$\sin A = \frac{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\angle A = 45^\circ$

$\angle C = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ$

3. 最終的な答え

(1)

$AB = 4\sqrt{3}$

$\angle B = 30^\circ$

$\angle C = 90^\circ$

(2)

$\angle A = 45^\circ$

$\angle C = 75^\circ$