与えられた式 $\frac{4}{x^2-4} - \frac{5}{x^2-x-6}$ を簡略化します。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{4}{x^2-4} - \frac{5}{x^2-x-6}$ を簡略化します。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの分母を因数分解します。

$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$

$x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)$

したがって、式は次のようになります。

$\frac{4}{(x-2)(x+2)} - \frac{5}{(x-3)(x+2)}$

次に、共通分母を見つけます。共通分母は $(x-2)(x+2)(x-3)$ です。

それぞれの分数を共通分母で書き換えます。

$\frac{4(x-3)}{(x-2)(x+2)(x-3)} - \frac{5(x-2)}{(x-2)(x+2)(x-3)}$

次に、分子を簡略化します。

$\frac{4x-12}{(x-2)(x+2)(x-3)} - \frac{5x-10}{(x-2)(x+2)(x-3)}$

次に、分数を結合します。

$\frac{(4x-12) - (5x-10)}{(x-2)(x+2)(x-3)}$

分子をさらに簡略化します。

$\frac{4x-12 - 5x + 10}{(x-2)(x+2)(x-3)}$

$\frac{-x-2}{(x-2)(x+2)(x-3)}$

最後に、分子から -1 を括り出し、$(x+2)$を約分します。

$\frac{-(x+2)}{(x-2)(x+2)(x-3)} = \frac{-1}{(x-2)(x-3)}$

最終的に、

$\frac{-1}{(x-2)(x-3)} = \frac{-1}{x^2 - 5x + 6}$

3. 最終的な答え

$\frac{-1}{x^2-5x+6}$