与えられた式 $ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

$ab(a-b) + bc(b-c) + ca(c-a) = a^2b - ab^2 + b^2c - bc^2 + c^2a - ca^2$

次に、式を整理して因数分解しやすい形にします。$a$について整理してみましょう。

$a^2b - ab^2 + b^2c - bc^2 + c^2a - ca^2 = (b-c)a^2 - (b^2-c^2)a + (b^2c - bc^2)$

ここで、$b^2-c^2 = (b-c)(b+c)$、$b^2c - bc^2 = bc(b-c)$ であることに注目すると、

$(b-c)a^2 - (b^2-c^2)a + (b^2c - bc^2) = (b-c)a^2 - (b-c)(b+c)a + bc(b-c)$

となり、$b-c$ が共通因数であることに気づきます。したがって、

$(b-c)a^2 - (b-c)(b+c)a + bc(b-c) = (b-c)[a^2 - (b+c)a + bc]$

さらに、括弧の中を因数分解すると、$a^2 - (b+c)a + bc = (a-b)(a-c)$ となるので、

$(b-c)[a^2 - (b+c)a + bc] = (b-c)(a-b)(a-c)$

符号を調整して、見慣れた形にすると、

$(b-c)(a-b)(a-c) = -(a-b)(b-c)(c-a)$

3. 最終的な答え

$-(a-b)(b-c)(c-a)$

または

$(b-c)(a-b)(a-c)$

または

$(a-b)(b-c)(c-a) (-1)$