与えられた式 $\frac{x-3}{x^2-1} + \frac{3x}{x^2+x-2}$ を簡略化（または足し合わせ）します。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{x-3}{x^2-1} + \frac{3x}{x^2+x-2}$ を簡略化（または足し合わせ）します。

2. 解き方の手順

まず、各分数の分母を因数分解します。

$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$

$x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1)$

したがって、与えられた式は次のようになります。

$\frac{x-3}{(x-1)(x+1)} + \frac{3x}{(x+2)(x-1)}$

次に、2つの分数の最小公分母(LCM)を見つけます。この場合、LCMは $(x-1)(x+1)(x+2)$ です。

次に、各分数をLCMを分母とするように書き換えます。

$\frac{x-3}{(x-1)(x+1)} = \frac{(x-3)(x+2)}{(x-1)(x+1)(x+2)} = \frac{x^2 -x - 6}{(x-1)(x+1)(x+2)}$

$\frac{3x}{(x+2)(x-1)} = \frac{3x(x+1)}{(x+2)(x-1)(x+1)} = \frac{3x^2+3x}{(x-1)(x+1)(x+2)}$

次に、2つの分数を足し合わせます。

$\frac{x^2 -x - 6}{(x-1)(x+1)(x+2)} + \frac{3x^2+3x}{(x-1)(x+1)(x+2)} = \frac{x^2 -x - 6 + 3x^2+3x}{(x-1)(x+1)(x+2)} = \frac{4x^2+2x-6}{(x-1)(x+1)(x+2)}$

分子を因数分解します。

$4x^2+2x-6 = 2(2x^2+x-3) = 2(2x+3)(x-1)$

したがって、分数式は次のようになります。

$\frac{2(2x+3)(x-1)}{(x-1)(x+1)(x+2)}$

$(x-1)$ を分子と分母から約分します。

$\frac{2(2x+3)}{(x+1)(x+2)}$

展開して整理すると、最終的な答えは次のようになります。

$\frac{4x+6}{x^2+3x+2}$

3. 最終的な答え

$\frac{4x+6}{x^2+3x+2}$