2次関数のグラフが与えられた条件を満たすとき、その2次関数を求める問題です。 (1) 頂点が $x$ 軸上にあって、2点 $(0, 4)$、 $(-4, 36)$ を通る。 (2) 放物線 $y = 2x^2$ を平行移動したもので、点 $(2, 4)$ を通り、頂点が直線 $y = 2x - 4$ 上にある。

1. 問題の内容

2次関数のグラフが与えられた条件を満たすとき、その2次関数を求める問題です。

(1) 頂点が $x$ 軸上にあって、2点 $(0, 4)$、 $(-4, 36)$ を通る。

(2) 放物線 $y = 2x^2$ を平行移動したもので、点 $(2, 4)$ を通り、頂点が直線 $y = 2x - 4$ 上にある。

2. 解き方の手順

(1)

頂点が $x$ 軸上にあるので、頂点の $y$ 座標は 0 です。頂点の $x$ 座標を $p$ とすると、求める2次関数は $y = a(x - p)^2$ と表せます。

このグラフが点 $(0, 4)$、 $(-4, 36)$ を通るので、以下の式が成り立ちます。

$4 = a(0 - p)^2 = ap^2$

$36 = a(-4 - p)^2 = a(p + 4)^2$

2つの式から $a$ を消去します。

$a = \frac{4}{p^2}$ を $36 = a(p + 4)^2$ に代入すると、

$36 = \frac{4}{p^2}(p + 4)^2$

$9 = \frac{(p + 4)^2}{p^2}$

$9p^2 = (p + 4)^2$

$9p^2 = p^2 + 8p + 16$

$8p^2 - 8p - 16 = 0$

$p^2 - p - 2 = 0$

$(p - 2)(p + 1) = 0$

$p = 2, -1$

$p = 2$ のとき、$a = \frac{4}{2^2} = 1$

$p = -1$ のとき、$a = \frac{4}{(-1)^2} = 4$

したがって、求める2次関数は $y = (x - 2)^2$ または $y = 4(x + 1)^2$ です。

(2)

放物線 $y = 2x^2$ を平行移動したものであるから、求める2次関数は $y = 2(x - p)^2 + q$ と表せます。

頂点 $(p, q)$ が直線 $y = 2x - 4$ 上にあるので、$q = 2p - 4$。

したがって、$y = 2(x - p)^2 + 2p - 4$

このグラフが点 $(2, 4)$ を通るので、

$4 = 2(2 - p)^2 + 2p - 4$

$8 = 2(4 - 4p + p^2) + 2p$

$8 = 8 - 8p + 2p^2 + 2p$

$0 = 2p^2 - 6p$

$0 = 2p(p - 3)$

$p = 0, 3$

$p = 0$ のとき、$q = 2(0) - 4 = -4$

$p = 3$ のとき、$q = 2(3) - 4 = 2$

したがって、求める2次関数は $y = 2(x - 0)^2 - 4 = 2x^2 - 4$ または $y = 2(x - 3)^2 + 2$ です。

3. 最終的な答え

(1) $y = (x - 2)^2$ または $y = 4(x + 1)^2$

(2) $y = 2x^2 - 4$ または $y = 2(x - 3)^2 + 2$