図に示された数列において、2段目と3段目の数はその上の段の2つの数をもとに、ある規則に従って並んでいる。このとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

図に示された数列において、2段目と3段目の数はその上の段の2つの数をもとに、ある規則に従って並んでいる。このとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

数列の規則性を見つける。2段目の数は、1段目の隣り合う2つの数の和になっている。同様に、3段目の数は、2段目の隣り合う2つの数の和になっている。

まず、1段目の3と2から2段目の5が作られていることから、

$3 + 2 = 5$

次に、1段目の2と7から2段目の9が作られていることから、

$2 + 7 = 9$

この規則から、2段目の空欄に入る数は、1段目の7と$b$の和なので、$7 + b$となる。

さらに、2段目の9と$7 + b$から3段目の$a+25$が作られていることから、

$9 + (7 + b) = a + 25$

$16 + b = a + 25$

次に、2段目の$7 + b$と$4(a-2)$から3段目の65が作られていることから、

$(7 + b) + 4(a-2) = 65$

$7 + b + 4a - 8 = 65$

$4a + b - 1 = 65$

$4a + b = 66$

$16 + b = a + 25$を変形して、$b = a + 9$を得る。

$4a + b = 66$に$b = a + 9$を代入すると、

$4a + (a + 9) = 66$

$5a + 9 = 66$

$5a = 57$

$a = \frac{57}{5}$

次に、3段目の14は、2段目の5と9の和で作られていることから、

$5 + 9 = 14$

同様に、$a + 25$は2段目の9と$7 + b$の和で作られている。

$9 + 7 + b = a + 25$

$16 + b = a + 25$

$b = a + 9$

また、65は2段目の$7 + b$と$4(a-2)$の和で作られている。

$7 + b + 4(a-2) = 65$

$7 + b + 4a - 8 = 65$

$b + 4a - 1 = 65$

$b + 4a = 66$

$b = 66 - 4a$

$a + 9 = 66 - 4a$

$5a = 57$

$a = \frac{57}{5}$

しかし、問題の図から、$a + 25 + 65$は計算できないので、別の規則を考える。

1段目の$b$と$4(a-2)$を用いて、2段目を考えると、$7 + b = 9 + x$とおき、$b + 4(a-2)=x + 65$となる。

$3 + 2 = 5$

$2 + 7 = 9$

$7 + b = x$

$b + 4(a-2) = y$

$5 + 9 = 14$

$9 + x = a + 25$

$x + y = 65$

$16 + b = a + 25$

$4a - 2 + b + x = 65$

$b = a + 9$

$b + 4a = 66$

$b = 66 - 4a$

$a + 9 = 66 - 4a$

$5a = 57$

$a = 10$ (近似値)

1段目において、$3, 2, 7, b, 4(a-2)$の差はほぼ一定であると仮定する。

$5 - 3 = 2$

$9 - 5 = 4$

$14 - 5 = 9$

差の差を考えると、等差数列になっている。

3, 2, 7, b, 4(a-2)

5, 9, a+25, 65

14

1段目：3, 2, 7, b, 4(a-2)

2段目：5, 9, x, y

3段目：14, a+25, 65

$x = 7 + b$

$y = b + 4(a-2)$

$a + 25 = 9 + 7 + b$

$a + 25 = 16 + b$

$a = b - 9$

$65 = x + y = 7 + b + b + 4a - 8$

$65 = 2b + 4a - 1$

$66 = 2b + 4a$

$33 = b + 2a$

$33 = b + 2(b - 9) = 3b - 18$

$3b = 51$

$b = 17$

$a = b - 9 = 17 - 9 = 8$

$4(a-2) = 4(8-2) = 24$

3. 最終的な答え

$a = 8$

$b = 17$