問題は以下の2つです。 (1) $18^{50}$ は何桁の整数か。 (2) $(\frac{5}{9})^{100}$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるか。 ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$, $\log_{10}3 = 0.4771$ を用いること。

1. 問題の内容

問題は以下の2つです。

(1) $18^{50}$ は何桁の整数か。

(2) $(\frac{5}{9})^{100}$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるか。

ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$, $\log_{10}3 = 0.4771$ を用いること。

2. 解き方の手順

(1) $18^{50}$ の桁数を求める。

まず、$\log_{10}(18^{50})$ を計算する。

$$\log_{10}(18^{50}) = 50 \log_{10}18 = 50 \log_{10}(2 \times 3^2) = 50 (\log_{10}2 + 2\log_{10}3)$$

$\log_{10}2 = 0.3010$, $\log_{10}3 = 0.4771$ を代入すると、

$$50(0.3010 + 2 \times 0.4771) = 50(0.3010 + 0.9542) = 50(1.2552) = 62.76$$

$\log_{10}(18^{50}) = 62.76$ より、$18^{50} = 10^{62.76} = 10^{0.76} \times 10^{62}$ となる。

$10^{62} < 18^{50} < 10^{63}$ であるから、$18^{50}$ は63桁の整数である。

(2) $(\frac{5}{9})^{100}$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求める。

まず、$\log_{10}(\frac{5}{9})^{100}$ を計算する。

$$\log_{10}(\frac{5}{9})^{100} = 100 \log_{10}(\frac{5}{9}) = 100(\log_{10}5 - \log_{10}9) = 100(\log_{10}\frac{10}{2} - \log_{10}3^2)$$

$$= 100(\log_{10}10 - \log_{10}2 - 2\log_{10}3) = 100(1 - \log_{10}2 - 2\log_{10}3)$$

$\log_{10}2 = 0.3010$, $\log_{10}3 = 0.4771$ を代入すると、

$$100(1 - 0.3010 - 2 \times 0.4771) = 100(1 - 0.3010 - 0.9542) = 100(1 - 1.2552) = 100(-0.2552) = -25.52$$

$\log_{10}(\frac{5}{9})^{100} = -25.52$ より、$(\frac{5}{9})^{100} = 10^{-25.52} = 10^{-26+0.48} = 10^{0.48} \times 10^{-26}$ となる。

$10^{-26} < (\frac{5}{9})^{100} < 10^{-25}$ であるから、小数第26位に初めて0でない数字が現れる。

3. 最終的な答え

(1) 63桁

(2) 小数第26位