与えられた式を展開する問題です。 (1) $(x+1)^2(x-1)^2$ (2) $(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)$

1. 問題の内容

与えられた式を展開する問題です。

(1) $(x+1)^2(x-1)^2$

(2) $(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$(x+1)(x-1)$を計算します。

$(x+1)(x-1) = x^2 - 1$

次に、$(x^2 - 1)^2$を展開します。

$(x^2 - 1)^2 = (x^2)^2 - 2(x^2)(1) + 1^2 = x^4 - 2x^2 + 1$

(2)

与えられた式を$(a^2+b^2)$と$ab$を使って整理します。

$(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2) = \{(a^2+b^2)+ab\}\{(a^2+b^2)-ab\}$

これは$(A+B)(A-B)$の形なので、$A^2 - B^2$で計算できます。ここで、$A = a^2+b^2$、$B = ab$です。

$(a^2+b^2)^2 - (ab)^2 = (a^4 + 2a^2b^2 + b^4) - a^2b^2 = a^4 + 2a^2b^2 + b^4 - a^2b^2 = a^4 + a^2b^2 + b^4$

3. 最終的な答え

(1) $x^4 - 2x^2 + 1$

(2) $a^4 + a^2b^2 + b^4$