ベクトル $\mathbf{a} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ と $\mathbf{b} = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}$ が与えられたとき、以下の値を求めます。 (1) $\Vert \mathbf{a} \Vert$ (ベクトル $\mathbf{a}$ の大きさ) (2) $\Vert \mathbf{b} \Vert$ (ベクトル $\mathbf{b}$ の大きさ) (3) $(\mathbf{a}, \mathbf{b})$ (ベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ の内積) (4) $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ (ベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ の外積)

1. 問題の内容

ベクトル $\mathbf{a} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ と $\mathbf{b} = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}$ が与えられたとき、以下の値を求めます。

(1) $\Vert \mathbf{a} \Vert$ (ベクトル $\mathbf{a}$ の大きさ)

(2) $\Vert \mathbf{b} \Vert$ (ベクトル $\mathbf{b}$ の大きさ)

(3) $(\mathbf{a}, \mathbf{b})$ (ベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ の内積)

(4) $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ (ベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ の外積)

2. 解き方の手順

(1) ベクトル $\mathbf{a}$ の大きさ $\Vert \mathbf{a} \Vert$ は、各成分の二乗和の平方根で計算します。

$\Vert \mathbf{a} \Vert = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2}$

(2) ベクトル $\mathbf{b}$ の大きさ $\Vert \mathbf{b} \Vert$ は、各成分の二乗和の平方根で計算します。

$\Vert \mathbf{b} \Vert = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 3^2}$

(3) ベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ の内積 $(\mathbf{a}, \mathbf{b})$ は、対応する成分の積の和で計算します。

$(\mathbf{a}, \mathbf{b}) = (1 \times -1) + (1 \times 0) + (2 \times 3)$

(4) ベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ の外積 $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ は次のように計算します。

$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{bmatrix} (1)(3) - (2)(0) \\ (2)(-1) - (1)(3) \\ (1)(0) - (1)(-1) \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $\Vert \mathbf{a} \Vert = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$

(2) $\Vert \mathbf{b} \Vert = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 0 + 9} = \sqrt{10}$

(3) $(\mathbf{a}, \mathbf{b}) = (1 \times -1) + (1 \times 0) + (2 \times 3) = -1 + 0 + 6 = 5$

(4) $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{bmatrix} (1)(3) - (2)(0) \\ (2)(-1) - (1)(3) \\ (1)(0) - (1)(-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 - 0 \\ -2 - 3 \\ 0 - (-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ -5 \\ 1 \end{bmatrix}$

したがって、

(1) $\Vert \mathbf{a} \Vert = \sqrt{6}$

(2) $\Vert \mathbf{b} \Vert = \sqrt{10}$

(3) $(\mathbf{a}, \mathbf{b}) = 5$

(4) $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 3 \\ -5 \\ 1 \end{bmatrix}$