$x = \sqrt{3} + \sqrt{2}$、 $y = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ のとき、以下の2つの式の値を求めます。 (1) $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ (2) $x^3 + y^3$

1. 問題の内容

$x = \sqrt{3} + \sqrt{2}$、 $y = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ のとき、以下の2つの式の値を求めます。

(1) $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$

(2) $x^3 + y^3$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ を計算します。通分して計算を行います。

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y}{xy} + \frac{x}{xy} = \frac{x+y}{xy}$

$x+y = (\sqrt{3}+\sqrt{2}) + (\sqrt{3}-\sqrt{2}) = 2\sqrt{3}$

$xy = (\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2}) = (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 3-2 = 1$

よって、$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2\sqrt{3}}{1} = 2\sqrt{3}$

(2) $x^3 + y^3$ を計算します。因数分解の公式 $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 -xy + y^2)$ を利用します。

$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 -xy + y^2)$

$x+y = 2\sqrt{3}$ (すでに計算済み)

$xy = 1$ (すでに計算済み)

$x^2+y^2 = (x+y)^2-2xy = (2\sqrt{3})^2 - 2(1) = 4\cdot3 - 2 = 12-2=10$

$x^2 -xy + y^2 = (x^2 + y^2) - xy = 10 - 1 = 9$

$x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2) = 2\sqrt{3} \cdot 9 = 18\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 2\sqrt{3}$

(2) $x^3 + y^3 = 18\sqrt{3}$