$0^\circ \le \theta < 360^\circ$ のとき、以下の不等式を満たす$\theta$の範囲を求めよ。 (1) $\cos \theta \lt \frac{\sqrt{2}}{2}$ (2) $-2 \sin \theta \le \sqrt{3}$ (3) $3 \tan \theta - \sqrt{3} \le 0$

1. 問題の内容

$0^\circ \le \theta < 360^\circ$ のとき、以下の不等式を満たす$\theta$の範囲を求めよ。

(1) $\cos \theta \lt \frac{\sqrt{2}}{2}$

(2) $-2 \sin \theta \le \sqrt{3}$

(3) $3 \tan \theta - \sqrt{3} \le 0$

2. 解き方の手順

(1) $\cos \theta \lt \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$ となるのは、$\theta = 45^\circ, 315^\circ$ である。$\cos \theta$ のグラフを考えると、$\cos \theta \lt \frac{\sqrt{2}}{2}$ となるのは、$45^\circ \lt \theta \lt 315^\circ$ のときである。

(2) $-2 \sin \theta \le \sqrt{3}$

$\sin \theta \ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となるのは、$\theta = 240^\circ, 300^\circ$ である。$\sin \theta$ のグラフを考えると、$\sin \theta \ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となるのは、$0^\circ \le \theta \le 240^\circ$ または $300^\circ \le \theta \lt 360^\circ$ のときである。

(3) $3 \tan \theta - \sqrt{3} \le 0$

$\tan \theta \le \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\tan \theta = \frac{\sqrt{3}}{3}$ となるのは、$\theta = 30^\circ, 210^\circ$ である。$\tan \theta$ のグラフを考えると、$\tan \theta \le \frac{\sqrt{3}}{3}$ となるのは、$0^\circ \le \theta \le 30^\circ$ または $90^\circ \lt \theta \le 210^\circ$ または $270^\circ \lt \theta \lt 360^\circ$ のときである。

3. 最終的な答え

(1) $45^\circ \lt \theta \lt 315^\circ$

(2) $0^\circ \le \theta \le 240^\circ$, $300^\circ \le \theta \lt 360^\circ$

(3) $0^\circ \le \theta \le 30^\circ$, $90^\circ \lt \theta \le 210^\circ$, $270^\circ \lt \theta \lt 360^\circ$