数列 $\{a_n\}$ が与えられており、その一般項 $a_n$ を求める問題です。 初期条件は $a_1 = 1$, $a_2 = 1$ であり、漸化式は $a_{n+2} = 4a_{n+1} - 4a_n$ です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられており、その一般項 $a_n$ を求める問題です。

初期条件は $a_1 = 1$, $a_2 = 1$ であり、漸化式は $a_{n+2} = 4a_{n+1} - 4a_n$ です。

2. 解き方の手順

この問題は、特性方程式を用いて解くことができます。

まず、漸化式 $a_{n+2} = 4a_{n+1} - 4a_n$ の特性方程式を作ります。特性方程式は、

$x^2 = 4x - 4$

となります。

これを整理すると、

$x^2 - 4x + 4 = 0$

となります。

この方程式を解くと、

$(x - 2)^2 = 0$

となり、$x = 2$ (重解) を得ます。

特性方程式が重解を持つ場合、一般項は

$a_n = (An + B)2^n$

の形で表されます。ここで、$A$と$B$は定数です。

初期条件 $a_1 = 1$ と $a_2 = 1$ を用いて、$A$と$B$の値を求めます。

$a_1 = (A(1) + B)2^1 = 2(A + B) = 1$

$a_2 = (A(2) + B)2^2 = 4(2A + B) = 1$

これらの式から、$A + B = \frac{1}{2}$ と $2A + B = \frac{1}{4}$ が得られます。

連立方程式

$A + B = \frac{1}{2}$

$2A + B = \frac{1}{4}$

を解きます。

下の式から上の式を引くと、

$A = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$

となります。

$A + B = \frac{1}{2}$ に $A = -\frac{1}{4}$ を代入すると、

$-\frac{1}{4} + B = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

したがって、$A = -\frac{1}{4}$ と $B = \frac{3}{4}$ となります。

これらの値を一般項の式に代入すると、

$a_n = \left(-\frac{1}{4}n + \frac{3}{4}\right)2^n$

$a_n = \frac{-n + 3}{4}2^n$

$a_n = (3 - n)2^{n-2}$

となります。

3. 最終的な答え

$a_n = (3 - n)2^{n-2}$