$\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}$ のとき、等式 $\frac{x^2 - y^2 - z^2}{a^2 - b^2 - c^2} = \frac{xy - yz - zx}{ab - bc - ca}$ を証明する問題です。また、証明の過程にある空欄を埋める問題です。

1. 問題の内容

$\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}$ のとき、等式 $\frac{x^2 - y^2 - z^2}{a^2 - b^2 - c^2} = \frac{xy - yz - zx}{ab - bc - ca}$ を証明する問題です。また、証明の過程にある空欄を埋める問題です。

2. 解き方の手順

$\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c} = k$ とおくと、

$x = ak$

$y = bk$

$z = ck$

となります。

左辺は、

$\frac{x^2 - y^2 - z^2}{a^2 - b^2 - c^2} = \frac{(ak)^2 - (bk)^2 - (ck)^2}{a^2 - b^2 - c^2} = \frac{a^2k^2 - b^2k^2 - c^2k^2}{a^2 - b^2 - c^2} = \frac{k^2(a^2 - b^2 - c^2)}{a^2 - b^2 - c^2} = k^2$

したがって、セ は $k^2$ です。

右辺は、

$\frac{xy - yz - zx}{ab - bc - ca} = \frac{(ak)(bk) - (bk)(ck) - (ck)(ak)}{ab - bc - ca} = \frac{abk^2 - bck^2 - cak^2}{ab - bc - ca} = \frac{k^2(ab - bc - ca)}{ab - bc - ca} = k^2$

したがって、ソ は $b$、タ は $a$、チ は $k^2$、ツ は $k^2$ です。

3. 最終的な答え

コ: $ak$

サ: $bk$

シ: $ck$

ス: $c$

セ: $k^2$

ソ: $b$

タ: $a$

チ: $k^2$

ツ: $k^2$