与えられた二次方程式を解の公式を用いて解く。具体的には、以下の6つの方程式の解を求める。 (1) $x^2 - 3x + 1 = 0$ (2) $x^2 + x - 4 = 0$ (3) $2x^2 - 5x - 1 = 0$ (4) $3x^2 + 7x + 3 = 0$ (5) $3x^2 - 2x - 2 = 0$ (6) $5x^2 + 8x + 2 = 0$

1. 問題の内容

与えられた二次方程式を解の公式を用いて解く。具体的には、以下の6つの方程式の解を求める。

(1) $x^2 - 3x + 1 = 0$

(2) $x^2 + x - 4 = 0$

(3) $2x^2 - 5x - 1 = 0$

(4) $3x^2 + 7x + 3 = 0$

(5) $3x^2 - 2x - 2 = 0$

(6) $5x^2 + 8x + 2 = 0$

2. 解き方の手順

二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解の公式は次の通りである。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

この公式を各方程式に適用して解を求める。

(1) $x^2 - 3x + 1 = 0$: $a=1, b=-3, c=1$

$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

(2) $x^2 + x - 4 = 0$: $a=1, b=1, c=-4$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 16}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}$

(3) $2x^2 - 5x - 1 = 0$: $a=2, b=-5, c=-1$

$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8}}{4} = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{4}$

(4) $3x^2 + 7x + 3 = 0$: $a=3, b=7, c=3$

$x = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4(3)(3)}}{2(3)} = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 36}}{6} = \frac{-7 \pm \sqrt{13}}{6}$

(5) $3x^2 - 2x - 2 = 0$: $a=3, b=-2, c=-2$

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(3)(-2)}}{2(3)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 24}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{6} = \frac{2 \pm 2\sqrt{7}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{3}$

(6) $5x^2 + 8x + 2 = 0$: $a=5, b=8, c=2$

$x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4(5)(2)}}{2(5)} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 40}}{10} = \frac{-8 \pm \sqrt{24}}{10} = \frac{-8 \pm 2\sqrt{6}}{10} = \frac{-4 \pm \sqrt{6}}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

(2) $x = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}$

(3) $x = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{4}$

(4) $x = \frac{-7 \pm \sqrt{13}}{6}$

(5) $x = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{3}$

(6) $x = \frac{-4 \pm \sqrt{6}}{5}$