2次方程式 $x^2 + 8x - 1 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha - 2$ と $\beta - 2$ を2つの解とする2次方程式を求め、$x^2 + \text{コサ} x + \text{シス} = 0$ の形の空欄を埋める問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 8x - 1 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha - 2$ と $\beta - 2$ を2つの解とする2次方程式を求め、$x^2 + \text{コサ} x + \text{シス} = 0$ の形の空欄を埋める問題です。

2. 解き方の手順

解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = -8$

$\alpha \beta = -1$

$\alpha - 2$ と $\beta - 2$ を解とする2次方程式を求めるため、解と係数の関係を逆に利用します。

2つの解の和は、

$(\alpha - 2) + (\beta - 2) = \alpha + \beta - 4 = -8 - 4 = -12$

2つの解の積は、

$(\alpha - 2)(\beta - 2) = \alpha\beta - 2(\alpha + \beta) + 4 = -1 - 2(-8) + 4 = -1 + 16 + 4 = 19$

したがって、$\alpha - 2$ と $\beta - 2$ を解とする2次方程式は、

$x^2 - ((\alpha - 2) + (\beta - 2))x + (\alpha - 2)(\beta - 2) = 0$

$x^2 - (-12)x + 19 = 0$

$x^2 + 12x + 19 = 0$

3. 最終的な答え

コサ = 12

シス = 19

したがって求める2次方程式は、$x^2 + 12x + 19 = 0$ となります。