多項式 $P(x) = 9x^3 + ax^2 + 4x + 2$ を $3x + 1$ で割ったときの余りが $3$ になるように、定数 $a$ の値を求めます。

1. 問題の内容

多項式 $P(x) = 9x^3 + ax^2 + 4x + 2$ を $3x + 1$ で割ったときの余りが $3$ になるように、定数 $a$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

剰余の定理を利用します。$3x + 1 = 0$ となる $x$ の値は $x = -\frac{1}{3}$ です。

剰余の定理より、$P(-\frac{1}{3})$ は $P(x)$ を $3x+1$ で割ったときの余りに等しくなります。問題文より、この余りは $3$ です。

したがって、$P(-\frac{1}{3}) = 3$ となる $a$ の値を求めれば良いことになります。

$P(x) = 9x^3 + ax^2 + 4x + 2$ に $x = -\frac{1}{3}$ を代入すると、

$P(-\frac{1}{3}) = 9(-\frac{1}{3})^3 + a(-\frac{1}{3})^2 + 4(-\frac{1}{3}) + 2$

$= 9(-\frac{1}{27}) + a(\frac{1}{9}) - \frac{4}{3} + 2$

$= -\frac{1}{3} + \frac{a}{9} - \frac{4}{3} + 2$

$= \frac{a}{9} - \frac{5}{3} + 2$

$= \frac{a}{9} + \frac{1}{3}$

$P(-\frac{1}{3}) = 3$ であるから、

$\frac{a}{9} + \frac{1}{3} = 3$

$\frac{a}{9} = 3 - \frac{1}{3} = \frac{8}{3}$

$a = \frac{8}{3} \times 9 = 24$

3. 最終的な答え

$a = 24$