多項式 $P(x)$ を $x+2$ で割ると余りが $2$、$x-4$ で割ると余りが $20$ である。このとき、$P(x)$ を $x^2-2x-8$ で割ったときの余りを求めよ。

1. 問題の内容

多項式 $P(x)$ を $x+2$ で割ると余りが $2$、$x-4$ で割ると余りが $20$ である。このとき、$P(x)$ を $x^2-2x-8$ で割ったときの余りを求めよ。

2. 解き方の手順

$P(x)$ を $x^2-2x-8$ で割ったときの余りを $ax+b$ とおく。

$x^2-2x-8=(x+2)(x-4)$ なので、$P(x)=(x+2)(x-4)Q(x)+ax+b$ と表せる。

$P(-2)=2$ および $P(4)=20$ が与えられているので、

$P(-2) = -2a+b = 2$

$P(4) = 4a+b = 20$

上記の2つの式を連立方程式として解く。

$4a+b-(-2a+b) = 20-2$

$6a = 18$

$a = 3$

$-2(3)+b = 2$

$-6+b = 2$

$b = 8$

3. 最終的な答え

$3x+8$