実数 $x$ に対して、$x^2 + 2x + 9$ と $8x$ の大小関係を分類する問題です。

1. 問題の内容

実数 $x$ に対して、$x^2 + 2x + 9$ と $8x$ の大小関係を分類する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 + 2x + 9$ と $8x$ の差を考えます。

$x^2 + 2x + 9 - 8x = x^2 - 6x + 9$

次に、この差が正、負、またはゼロになる $x$ の範囲を求めます。

$x^2 - 6x + 9$ は $(x-3)^2$ と変形できます。

$(x-3)^2 = (x-3)(x-3)$

$(x-3)^2 > 0$ のとき、$x^2 + 2x + 9 > 8x$ となります。

$(x-3)^2 = 0$ のとき、$x^2 + 2x + 9 = 8x$ となります。

$(x-3)^2 < 0$ となる $x$ は存在しません。

$(x-3)^2 > 0$ となるのは、$x \ne 3$ のときです。

$(x-3)^2 = 0$ となるのは、$x = 3$ のときです。

3. 最終的な答え

$x < 3$ または $x > 3$ のとき、$x^2 + 2x + 9 > 8x$

$x = 3$ のとき、$x^2 + 2x + 9 = 8x$