確率変数 $X$ が正規分布 $N(2, 5^2)$ に従うとき、次の確率を求めます。 (1) $P(2 \le X \le 12)$ (2) $P(0 \le X \le 5)$

1. 問題の内容

確率変数 $X$ が正規分布 $N(2, 5^2)$ に従うとき、次の確率を求めます。

(1) $P(2 \le X \le 12)$

(2) $P(0 \le X \le 5)$

2. 解き方の手順

まず、$X$ を標準化します。$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ ここで $\mu = 2$ (平均) と $\sigma = 5$ (標準偏差) です。したがって、$Z = \frac{X - 2}{5}$.

(1) $P(2 \le X \le 12)$ を計算します。

$X = 2$ のとき、$Z = \frac{2 - 2}{5} = 0$

$X = 12$ のとき、$Z = \frac{12 - 2}{5} = \frac{10}{5} = 2$

したがって、$P(2 \le X \le 12) = P(0 \le Z \le 2)$ です。 標準正規分布表を参照すると、$P(0 \le Z \le 2) = 0.4772$ となります。

(2) $P(0 \le X \le 5)$ を計算します。

$X = 0$ のとき、$Z = \frac{0 - 2}{5} = -\frac{2}{5} = -0.4$

$X = 5$ のとき、$Z = \frac{5 - 2}{5} = \frac{3}{5} = 0.6$

したがって、$P(0 \le X \le 5) = P(-0.4 \le Z \le 0.6)$ です。 これは、$P(-0.4 \le Z \le 0) + P(0 \le Z \le 0.6)$ と等しくなります。 正規分布の対称性から、$P(-0.4 \le Z \le 0) = P(0 \le Z \le 0.4)$. 標準正規分布表を参照すると、$P(0 \le Z \le 0.4) = 0.1554$ であり、$P(0 \le Z \le 0.6) = 0.2257$ です。

したがって、$P(0 \le X \le 5) = 0.1554 + 0.2257 = 0.3811$ です。

3. 最終的な答え

(1) $P(2 \le X \le 12) = 0.4772$

(2) $P(0 \le X \le 5) = 0.3811$