問題は2つあります。 (5) ベクトル $\vec{a} = (2, 4, 3)$、$\vec{b} = (9, -3, 1)$、$\vec{c} = (-4, 5, 2)$、$\vec{d} = (8, 13, 11)$ が与えられています。$\vec{d} = p\vec{a} + q\vec{b} + r\vec{c}$ と表せるとき、$p, q, r$ を求めよ。また、$\triangle ABC$ において、重心を $G$ とするとき、$\vec{AG}$ を $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ で表せ。 (6) $xy$ 座標平面上の2点 $A(3, 1), B(8, -1)$ を通る直線の方程式を $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ を用いて求めよ。ただし、直線 $AB$ 上にある点 $C$ を $(x, y)$ とせよ。

はい、承知いたしました。問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(5) ベクトル $\vec{a} = (2, 4, 3)$、$\vec{b} = (9, -3, 1)$、$\vec{c} = (-4, 5, 2)$、$\vec{d} = (8, 13, 11)$ が与えられています。$\vec{d} = p\vec{a} + q\vec{b} + r\vec{c}$ と表せるとき、$p, q, r$ を求めよ。また、$\triangle ABC$ において、重心を $G$ とするとき、$\vec{AG}$ を $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ で表せ。

(6) $xy$ 座標平面上の2点 $A(3, 1), B(8, -1)$ を通る直線の方程式を $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ を用いて求めよ。ただし、直線 $AB$ 上にある点 $C$ を $(x, y)$ とせよ。

2. 解き方の手順

(5)

まず、$\vec{d} = p\vec{a} + q\vec{b} + r\vec{c}$ の成分表示を考えます。

$$(8, 13, 11) = p(2, 4, 3) + q(9, -3, 1) + r(-4, 5, 2)$$

成分ごとに式を立てると、

\begin{align*}

2p + 9q - 4r &= 8 \\

4p - 3q + 5r &= 13 \\

3p + q + 2r &= 11

\end{align*}

この連立方程式を解きます。

3番目の式から $q = 11 - 3p - 2r$ となり、これを1,2番目の式に代入します。

\begin{align*}

2p + 9(11 - 3p - 2r) - 4r &= 8 \\

4p - 3(11 - 3p - 2r) + 5r &= 13

\end{align*}

整理すると

\begin{align*}

-25p - 22r &= -91 \\

13p + 11r &= 46

\end{align*}

2番目の式から $11r = 46 - 13p$ となり、$r = \frac{46 - 13p}{11}$ これを1番目の式に代入します。

$$-25p - 22\left(\frac{46 - 13p}{11}\right) = -91$$

$$-25p - 2(46 - 13p) = -91$$

$$-25p - 92 + 26p = -91$$

$$p = 1$$

$r = \frac{46 - 13(1)}{11} = \frac{33}{11} = 3$

$q = 11 - 3(1) - 2(3) = 11 - 3 - 6 = 2$

したがって、$p = 1, q = 2, r = 3$ です。

次に、$\vec{AG}$ を $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ で表します。

$\triangle ABC$ の重心 $G$ の位置ベクトル $\vec{g}$ は、$\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$ で与えられます。

$\vec{AG} = \vec{g} - \vec{a} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} - \vec{a} = \frac{\vec{b} + \vec{c} - 2\vec{a}}{3} = \frac{1}{3}(\vec{b} - \vec{a}) + \frac{1}{3}(\vec{c} - \vec{a}) = \frac{1}{3}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}$

したがって、$\vec{AG} = \frac{1}{3}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}$ です。

(6)

点 $C(x, y)$ が直線 $AB$ 上にあるので、$\vec{AC} = k\vec{AB}$ となる実数 $k$ が存在します。

$\vec{AB} = (8 - 3, -1 - 1) = (5, -2)$

$\vec{AC} = (x - 3, y - 1)$

$(x - 3, y - 1) = k(5, -2)$

成分ごとに式を立てると、

\begin{align*}

x - 3 &= 5k \\

y - 1 &= -2k

\end{align*}

これから $k = \frac{x - 3}{5}$ と $k = \frac{1 - y}{2}$ が得られます。したがって、

$\frac{x - 3}{5} = \frac{1 - y}{2}$

$2(x - 3) = 5(1 - y)$

$2x - 6 = 5 - 5y$

$2x + 5y = 11$

したがって、直線の方程式は $2x + 5y = 11$ です。

3. 最終的な答え

(5)

$p = 1, q = 2, r = 3$

$\vec{AG} = \frac{1}{3}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}$

(6)

$2x + 5y = 11$