方べきの定理を用いて、図に示された$x$の値を求めます。ただし、PTは円の接線で、Tは接点です。問題は(1), (2), (3)の3つあります。

1. 問題の内容

方べきの定理を用いて、図に示された$x$の値を求めます。ただし、PTは円の接線で、Tは接点です。問題は(1), (2), (3)の3つあります。

2. 解き方の手順

(1)

方べきの定理より、$PA \cdot PB = PC \cdot PD$が成り立ちます。

$PA = 3, PC = 2, PD = 6, PB = x$を代入すると、

$3 \cdot x = 2 \cdot 6$

$3x = 12$

$x = 4$

(2)

方べきの定理より、$PA \cdot PB = PC \cdot PD$が成り立ちます。

$PA = 6, PB = 6+3 = 9, PC = 5, PD = 5+x$を代入すると、

$6 \cdot 9 = 5 \cdot (5+x)$

$54 = 25 + 5x$

$5x = 29$

$x = \frac{29}{5}$

(3)

方べきの定理より、$PT^2 = PA \cdot PB$が成り立ちます。

$PT = 2, PA = x, PB = x+3$を代入すると、

$2^2 = x(x+3)$

$4 = x^2 + 3x$

$x^2 + 3x - 4 = 0$

$(x+4)(x-1) = 0$

$x = -4, 1$

$x > 0$より、$x=1$

3. 最終的な答え

(1) $x=4$

(2) $x=\frac{29}{5}$

(3) $x=1$