2直線 $ax - (a-2)y - a = 0$ と $(a+1)x + 2ay - 2 = 0$ について、以下の条件を満たす定数 $a$ の値を求めます。 (1) 平行であるが一致しない (2) 垂直

1. 問題の内容

2直線 $ax - (a-2)y - a = 0$ と $(a+1)x + 2ay - 2 = 0$ について、以下の条件を満たす定数 $a$ の値を求めます。

(1) 平行であるが一致しない

(2) 垂直

2. 解き方の手順

(1) 平行であるための条件

2直線が平行であるためには、それぞれの直線の傾きが等しくなければなりません。

まず、与えられた2直線を変形して、$y = mx + n$ の形にします。

直線1: $ax - (a-2)y - a = 0$ より、

$(a-2)y = ax - a$

$y = \frac{a}{a-2}x - \frac{a}{a-2}$ (ただし、$a \neq 2$)

直線2: $(a+1)x + 2ay - 2 = 0$ より、

$2ay = -(a+1)x + 2$

$y = -\frac{a+1}{2a}x + \frac{1}{a}$ (ただし、$a \neq 0$)

2直線が平行である条件は、傾きが等しいことなので、

$\frac{a}{a-2} = -\frac{a+1}{2a}$

$2a^2 = -(a+1)(a-2)$

$2a^2 = -(a^2 - 2a + a - 2)$

$2a^2 = -a^2 + a + 2$

$3a^2 - a - 2 = 0$

$(3a+2)(a-1) = 0$

$a = 1, -\frac{2}{3}$

次に、平行であっても一致しない条件を確認します。

直線1と直線2が一致しないためには、$y$切片が異なればよいので、

$-\frac{a}{a-2} \neq \frac{1}{a}$

$-a^2 \neq a-2$

$a^2 + a - 2 \neq 0$

$(a+2)(a-1) \neq 0$

$a \neq -2, 1$

$a = 1$ は $a \neq -2, 1$ を満たさないので除外。

$a = -\frac{2}{3}$ は $a \neq -2, 1$ を満たします。

また、$a \neq 0$ と $a \neq 2$ の条件も満たします。

(2) 垂直であるための条件

2直線が垂直であるためには、それぞれの直線の傾きの積が $-1$ にならなければなりません。

$\frac{a}{a-2} \times (-\frac{a+1}{2a}) = -1$

$-\frac{a(a+1)}{2a(a-2)} = -1$

$a(a+1) = 2a(a-2)$

$a^2 + a = 2a^2 - 4a$

$a^2 - 5a = 0$

$a(a-5) = 0$

$a = 0, 5$

ただし、 $a \neq 0$ と $a \neq 2$ の条件があるので、$a=0$は条件を満たしません。

3. 最終的な答え

(1) 平行であるが一致しない場合の $a$ の値： $-\frac{2}{3}$

(2) 垂直の場合の $a$ の値：$5$

(1) の答えの選択肢：②

(2) の答えの選択肢：②