ベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\vec{c} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、以下の外積を求めます。 (1) $\vec{a} \times \vec{b}$ (2) $\vec{b} \times \vec{a}$ (3) $\vec{b} \times \vec{c}$

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\vec{c} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、以下の外積を求めます。

(1) $\vec{a} \times \vec{b}$

(2) $\vec{b} \times \vec{a}$

(3) $\vec{b} \times \vec{c}$

2. 解き方の手順

外積の定義に従って計算します。

(1) $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix}$

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} (-1)(0) - (3)(1) \\ (3)(-3) - (2)(0) \\ (2)(1) - (-1)(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 - 3 \\ -9 - 0 \\ 2 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -9 \\ -1 \end{pmatrix}$

(2) $\vec{b} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{b})$ であることを利用します。

$\vec{b} \times \vec{a} = - \begin{pmatrix} -3 \\ -9 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 9 \\ 1 \end{pmatrix}$

または、定義通りに計算することもできます。

$\vec{b} \times \vec{a} = \begin{pmatrix} (1)(3) - (0)(-1) \\ (0)(2) - (-3)(3) \\ (-3)(-1) - (1)(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - 0 \\ 0 + 9 \\ 3 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 9 \\ 1 \end{pmatrix}$

(3) $\vec{b} \times \vec{c} = \begin{pmatrix} b_2 c_3 - b_3 c_2 \\ b_3 c_1 - b_1 c_3 \\ b_1 c_2 - b_2 c_1 \end{pmatrix}$

$\vec{b} \times \vec{c} = \begin{pmatrix} (1)(5) - (0)(-2) \\ (0)(0) - (-3)(5) \\ (-3)(-2) - (1)(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 - 0 \\ 0 + 15 \\ 6 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 15 \\ 6 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} -3 \\ -9 \\ -1 \end{pmatrix}$

(2) $\vec{b} \times \vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 9 \\ 1 \end{pmatrix}$

(3) $\vec{b} \times \vec{c} = \begin{pmatrix} 5 \\ 15 \\ 6 \end{pmatrix}$