2次関数 $f(x) = x^2 - (a+1)x + a^2 + a - 1$ (ただし、$a$ は定数) がある。$-1 \le x \le 3$ における $f(x)$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とする。 (1) $y = f(x)$ のグラフの頂点を求めよ。 (2) $M$ を $a$ を用いて表せ。 (3) $a > 1$ のとき、$M - 4m = 0$ となるような $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - (a+1)x + a^2 + a - 1$ (ただし、$a$ は定数) がある。$-1 \le x \le 3$ における $f(x)$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とする。

(1) $y = f(x)$ のグラフの頂点を求めよ。

(2) $M$ を $a$ を用いて表せ。

(3) $a > 1$ のとき、$M - 4m = 0$ となるような $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = x^2 - (a+1)x + a^2 + a - 1 = (x - \frac{a+1}{2})^2 - (\frac{a+1}{2})^2 + a^2 + a - 1$

$f(x) = (x - \frac{a+1}{2})^2 - \frac{a^2+2a+1}{4} + \frac{4a^2 + 4a - 4}{4} = (x - \frac{a+1}{2})^2 + \frac{3a^2 + 2a - 5}{4}$

よって、頂点の座標は $(\frac{a+1}{2}, \frac{3a^2 + 2a - 5}{4})$

(2) $f(x)$ の定義域は $-1 \le x \le 3$ である。軸 $x = \frac{a+1}{2}$ の位置によって場合分けをする。

(i) $\frac{a+1}{2} \le -1$ すなわち $a \le -3$ のとき、$f(x)$ は単調減少なので、$M = f(-1) = (-1)^2 - (a+1)(-1) + a^2 + a - 1 = 1 + a + 1 + a^2 + a - 1 = a^2 + 2a + 1$

(ii) $-1 < \frac{a+1}{2} < 3$ すなわち $-3 < a < 5$ のとき、$x = \frac{a+1}{2}$ で最小値をとる。

最大値は $f(-1) = a^2 + 2a + 1$ または $f(3) = 3^2 - (a+1)3 + a^2 + a - 1 = 9 - 3a - 3 + a^2 + a - 1 = a^2 - 2a + 5$ のいずれか大きい方である。

$\frac{a+1}{2} \le 1$ つまり $a \le 1$ のとき、$M = f(3) = a^2 - 2a + 5$

$\frac{a+1}{2} \ge 1$ つまり $a \ge 1$ のとき、$M = f(-1) = a^2 + 2a + 1$

(iii) $\frac{a+1}{2} \ge 3$ すなわち $a \ge 5$ のとき、$f(x)$ は単調増加なので、$M = f(3) = a^2 - 2a + 5$

以上より、

$a \le -3$ のとき $M = a^2 + 2a + 1$

$-3 < a \le 1$ のとき $M = a^2 - 2a + 5$

$1 \le a < 5$ のとき $M = a^2 + 2a + 1$

$a \ge 5$ のとき $M = a^2 - 2a + 5$

まとめて、

$a \le 1$ のとき $M = a^2 - 2a + 5$

$a \ge 1$ のとき $M = a^2 + 2a + 1$

(3) $a>1$ のとき、$M = a^2 + 2a + 1$ であり、$m$ は $x = \frac{a+1}{2}$ で最小値をとるから $m = \frac{3a^2 + 2a - 5}{4}$

$M - 4m = 0$ より、

$(a^2 + 2a + 1) - 4 \cdot \frac{3a^2 + 2a - 5}{4} = 0$

$a^2 + 2a + 1 - (3a^2 + 2a - 5) = 0$

$-2a^2 + 6 = 0$

$a^2 = 3$

$a = \pm \sqrt{3}$

$a > 1$ より $a = \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) 頂点の座標: $(\frac{a+1}{2}, \frac{3a^2+2a-5}{4})$

(2)

$a \le 1$ のとき $M = a^2 - 2a + 5$

$a \ge 1$ のとき $M = a^2 + 2a + 1$

(3) $a = \sqrt{3}$