(1) 放物線 $y = -x^2 + 3x - 1$ は、放物線 $y = -x^2 - 5x + 2$ をどのように平行移動したものか。 (2) 放物線 $y = 3x^2 - 6x + 5$ は、どのように平行移動すると放物線 $y = 3x^2 + 9x$ に重なるか。

1. 問題の内容

(1) 放物線 $y = -x^2 + 3x - 1$ は、放物線 $y = -x^2 - 5x + 2$ をどのように平行移動したものか。

(2) 放物線 $y = 3x^2 - 6x + 5$ は、どのように平行移動すると放物線 $y = 3x^2 + 9x$ に重なるか。

2. 解き方の手順

(1)

まず、それぞれの放物線を平方完成します。

$y = -x^2 - 5x + 2 = -(x^2 + 5x) + 2 = -(x + \frac{5}{2})^2 + \frac{25}{4} + 2 = -(x + \frac{5}{2})^2 + \frac{33}{4}$

$y = -x^2 + 3x - 1 = -(x^2 - 3x) - 1 = -(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4} - 1 = -(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{5}{4}$

それぞれの頂点の座標は、

$(-5/2, 33/4)$, $(3/2, 5/4)$

x方向の移動量は、$\frac{3}{2} - (-\frac{5}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{5}{2} = \frac{8}{2} = 4$

y方向の移動量は、$\frac{5}{4} - \frac{33}{4} = -\frac{28}{4} = -7$

したがって、$x$軸方向に$4$, $y$軸方向に$-7$平行移動した。

(2)

まず、それぞれの放物線を平方完成します。

$y = 3x^2 - 6x + 5 = 3(x^2 - 2x) + 5 = 3(x - 1)^2 - 3 + 5 = 3(x - 1)^2 + 2$

$y = 3x^2 + 9x = 3(x^2 + 3x) = 3(x + \frac{3}{2})^2 - 3(\frac{9}{4}) = 3(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{27}{4}$

それぞれの頂点の座標は、

$(1, 2)$, $(-3/2, -27/4)$

x方向の移動量は、$-\frac{3}{2} - 1 = -\frac{3}{2} - \frac{2}{2} = -\frac{5}{2}$

y方向の移動量は、$-\frac{27}{4} - 2 = -\frac{27}{4} - \frac{8}{4} = -\frac{35}{4}$

したがって、$x$軸方向に$-\frac{5}{2}$, $y$軸方向に$-\frac{35}{4}$平行移動した。

3. 最終的な答え

(1) $x$軸方向に$4$, $y$軸方向に$-7$平行移動

(2) $x$軸方向に$-\frac{5}{2}$, $y$軸方向に$-\frac{35}{4}$平行移動