行列式 $A = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 0 \\ -1 & 5 & 1 \\ 3 & -4 & 1 \end{vmatrix}$ の値を、第3行で展開することにより求める。

1. 問題の内容

行列式 $A = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 0 \\ -1 & 5 & 1 \\ 3 & -4 & 1 \end{vmatrix}$ の値を、第3行で展開することにより求める。

2. 解き方の手順

行列式を第3行で展開する場合、以下の式を用いる。

$|A| = a_{31}C_{31} + a_{32}C_{32} + a_{33}C_{33}$

ここで、$a_{ij}$ は行列 $A$ の $i$ 行 $j$ 列の要素、$C_{ij}$ は $a_{ij}$ の余因子である。余因子は、

$C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$

で与えられる。ただし、$M_{ij}$ は小行列式である。

今回の場合は、

$a_{31} = 3$, $a_{32} = -4$, $a_{33} = 1$

である。それぞれの余因子を計算する。

$C_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 5 & 1 \end{vmatrix} = (1) (3*1 - 0*5) = 3$

$C_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = (-1) (2*1 - 0*(-1)) = -2$

$C_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 5 \end{vmatrix} = (1) (2*5 - 3*(-1)) = 10 + 3 = 13$

したがって、

$|A| = 3C_{31} + (-4)C_{32} + 1C_{33} = 3(3) + (-4)(-2) + 1(13) = 9 + 8 + 13 = 30$

3. 最終的な答え

30