与えられた二次方程式について、指定された解の条件を満たすように定数 $m$ の値を求め、その時の解を求める。

1. 問題の内容

与えられた二次方程式について、指定された解の条件を満たすように定数 $m$ の値を求め、その時の解を求める。

2. 解き方の手順

(1) $x^2 - mx + 32 = 0$ で、1つの解が他の解の2倍である場合。

解を $\alpha$、$2\alpha$ とおく。

解と係数の関係より、

$\alpha + 2\alpha = m$

$\alpha \cdot 2\alpha = 32$

$3\alpha = m$

$2\alpha^2 = 32$

$\alpha^2 = 16$

$\alpha = \pm 4$

$\alpha = 4$ のとき、$m = 3\alpha = 12$。解は $4, 8$

$\alpha = -4$ のとき、$m = 3\alpha = -12$。解は $-4, -8$

(2) $x^2 - 10x + 3m = 0$ で、1つの解の2倍が他の解の3倍である場合。

解を $\alpha$、$\frac{2}{3}\alpha$ とおく。

解と係数の関係より、

$\alpha + \frac{2}{3}\alpha = 10$

$\alpha \cdot \frac{2}{3}\alpha = 3m$

$\frac{5}{3}\alpha = 10$

$\frac{2}{3}\alpha^2 = 3m$

$\alpha = 6$

$\frac{2}{3}(6)^2 = 3m$

$\frac{2}{3}(36) = 3m$

$24 = 3m$

$m = 8$

解は $6, 4$

(3) $x^2 - (m+2)x + 35 = 0$ で、2つの解の差が2である場合。

解を $\alpha$、$\alpha+2$ とおく。

解と係数の関係より、

$\alpha + (\alpha+2) = m+2$

$\alpha \cdot (\alpha+2) = 35$

$2\alpha + 2 = m+2$

$\alpha^2 + 2\alpha = 35$

$2\alpha = m$

$\alpha^2 + 2\alpha - 35 = 0$

$(\alpha + 7)(\alpha - 5) = 0$

$\alpha = -7$ または $\alpha = 5$

$\alpha = -7$ のとき、$m = 2\alpha = -14$。解は $-7, -5$

$\alpha = 5$ のとき、$m = 2\alpha = 10$。解は $5, 7$

(4) $x^2 - 30x + m = 0$ で、1つの解が他の解の2乗である場合。

解を $\alpha$、$\alpha^2$ とおく。

解と係数の関係より、

$\alpha + \alpha^2 = 30$

$\alpha \cdot \alpha^2 = m$

$\alpha^2 + \alpha - 30 = 0$

$(\alpha + 6)(\alpha - 5) = 0$

$\alpha = -6$ または $\alpha = 5$

$\alpha = -6$ のとき、$m = \alpha^3 = (-6)^3 = -216$。解は $-6, 36$

$\alpha = 5$ のとき、$m = \alpha^3 = 5^3 = 125$。解は $5, 25$

3. 最終的な答え

(1) $m=12$ のとき、解は $4, 8$

$m=-12$ のとき、解は $-4, -8$

(2) $m=8$ のとき、解は $4, 6$

(3) $m=-14$ のとき、解は $-7, -5$

$m=10$ のとき、解は $5, 7$

(4) $m=-216$ のとき、解は $-6, 36$

$m=125$ のとき、解は $5, 25$