与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 5 \\ 3 & 0 & 1 \\ 5 & 2 & -2 \end{pmatrix}$ の逆行列を、余因子行列を利用して求める。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 5 \\ 3 & 0 & 1 \\ 5 & 2 & -2 \end{pmatrix}$ の逆行列を、余因子行列を利用して求める。

2. 解き方の手順

まず、行列 $A$ の余因子行列を求める。余因子 $C_{ij}$ は、行列 $A$ の $(i, j)$ 成分を取り除いた行列の行列式に $(-1)^{i+j}$ をかけたものである。

* $C_{11} = (-1)^{1+1}(0 \cdot (-2) - 1 \cdot 2) = -2$

* $C_{12} = (-1)^{1+2}(3 \cdot (-2) - 1 \cdot 5) = -(-6-5) = 11$

* $C_{13} = (-1)^{1+3}(3 \cdot 2 - 0 \cdot 5) = 6$

* $C_{21} = (-1)^{2+1}((-1) \cdot (-2) - 5 \cdot 2) = -(2-10) = 8$

* $C_{22} = (-1)^{2+2}(1 \cdot (-2) - 5 \cdot 5) = -2-25 = -27$

* $C_{23} = (-1)^{2+3}(1 \cdot 2 - (-1) \cdot 5) = -(2+5) = -7$

* $C_{31} = (-1)^{3+1}((-1) \cdot 1 - 5 \cdot 0) = -1$

* $C_{32} = (-1)^{3+2}(1 \cdot 1 - 5 \cdot 3) = -(1-15) = 14$

* $C_{33} = (-1)^{3+3}(1 \cdot 0 - (-1) \cdot 3) = 3$

したがって、余因子行列 $C$ は

$C = \begin{pmatrix} -2 & 11 & 6 \\ 8 & -27 & -7 \\ -1 & 14 & 3 \end{pmatrix}$

次に、余因子行列の転置行列である adj$(A)$ を求める。

adj$(A) = C^T = \begin{pmatrix} -2 & 8 & -1 \\ 11 & -27 & 14 \\ 6 & -7 & 3 \end{pmatrix}$

次に、行列 $A$ の行列式を求める。

$\det(A) = 1(0 \cdot (-2) - 1 \cdot 2) - (-1)(3 \cdot (-2) - 1 \cdot 5) + 5(3 \cdot 2 - 0 \cdot 5) = 1(-2) + 1(-6 - 5) + 5(6) = -2 - 11 + 30 = 17$

最後に、逆行列 $A^{-1}$ を求める。逆行列は、adj$(A)$ を $\det(A)$ で割ったものである。

$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A) = \frac{1}{17} \begin{pmatrix} -2 & 8 & -1 \\ 11 & -27 & 14 \\ 6 & -7 & 3 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$A^{-1} = \frac{1}{17} \begin{pmatrix} -2 & 8 & -1 \\ 11 & -27 & 14 \\ 6 & -7 & 3 \end{pmatrix}$