2次関数 $f(x) = x^2 - (a+1)x + a^2 + a - 1$ (aは定数) がある。$-1 \le x \le 3$ における $f(x)$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とする。 (1) $y = f(x)$ のグラフの頂点を求めよ。 (2) $M$ を $a$ を用いて表せ。 (3) $a > 1$ のとき、$M - 4m = 0$ となるような $a$ の値を求めよ。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、解答を作成します。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - (a+1)x + a^2 + a - 1$ (aは定数) がある。$-1 \le x \le 3$ における $f(x)$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とする。

(1) $y = f(x)$ のグラフの頂点を求めよ。

(2) $M$ を $a$ を用いて表せ。

(3) $a > 1$ のとき、$M - 4m = 0$ となるような $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 頂点を求める

$f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = x^2 - (a+1)x + a^2 + a - 1$

$= (x - \frac{a+1}{2})^2 - (\frac{a+1}{2})^2 + a^2 + a - 1$

$= (x - \frac{a+1}{2})^2 - \frac{a^2 + 2a + 1}{4} + a^2 + a - 1$

$= (x - \frac{a+1}{2})^2 + \frac{-a^2 - 2a - 1 + 4a^2 + 4a - 4}{4}$

$= (x - \frac{a+1}{2})^2 + \frac{3a^2 + 2a - 5}{4}$

よって、頂点の座標は $(\frac{a+1}{2}, \frac{3a^2 + 2a - 5}{4})$

(2) $M$ を $a$ を用いて表す

定義域 $-1 \le x \le 3$ の中央の値は $x=1$ である。

頂点の $x$ 座標 $\frac{a+1}{2}$ と定義域の位置関係によって最大値をとる $x$ が変わる。

[1] $\frac{a+1}{2} \le 1$ つまり $a \le 1$ のとき、

$f(-1) = (-1)^2 - (a+1)(-1) + a^2 + a - 1 = 1 + a + 1 + a^2 + a - 1 = a^2 + 2a + 1 = (a+1)^2$

$f(3) = 3^2 - (a+1)3 + a^2 + a - 1 = 9 - 3a - 3 + a^2 + a - 1 = a^2 - 2a + 5$

$a \le 1$ のとき、$M = f(3) = a^2 - 2a + 5$

[2] $\frac{a+1}{2} \ge 1$ つまり $a \ge 1$ のとき、

$M = f(-1) = (a+1)^2 = a^2 + 2a + 1$

(3) $a > 1$ のとき、$M - 4m = 0$ となるような $a$ の値を求める

$a > 1$ なので、$M = a^2 + 2a + 1$

$m$ は $f(x)$ の最小値なので、$x = \frac{a+1}{2}$ で最小値をとる。

$m = \frac{3a^2 + 2a - 5}{4}$

$M - 4m = 0$ より

$a^2 + 2a + 1 - 4(\frac{3a^2 + 2a - 5}{4}) = 0$

$a^2 + 2a + 1 - (3a^2 + 2a - 5) = 0$

$-2a^2 + 6 = 0$

$2a^2 = 6$

$a^2 = 3$

$a = \pm \sqrt{3}$

$a > 1$ より $a = \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) 頂点の座標: $(\frac{a+1}{2}, \frac{3a^2 + 2a - 5}{4})$

(2) $a \le 1$ のとき $M = a^2 - 2a + 5$, $a \ge 1$ のとき $M = a^2 + 2a + 1$

(3) $a = \sqrt{3}$