(1) 定積分 $\int_{1}^{e} x \log x dx$ の値を求めよ。 (2) 定積分 $\int_{1}^{e} x (\log x)^2 dx$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 定積分 $\int_{1}^{e} x \log x dx$ の値を求めよ。

(2) 定積分 $\int_{1}^{e} x (\log x)^2 dx$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 部分積分を用いて解く。$u = \log x$, $dv = x dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{x^2}{2}$となる。

$\int_{1}^{e} x \log x dx = \left[ \frac{x^2}{2} \log x \right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx$

$= \left[ \frac{x^2}{2} \log x \right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{2} dx$

$= \left[ \frac{x^2}{2} \log x \right]_{1}^{e} - \left[ \frac{x^2}{4} \right]_{1}^{e}$

$= \left( \frac{e^2}{2} \log e - \frac{1^2}{2} \log 1 \right) - \left( \frac{e^2}{4} - \frac{1^2}{4} \right)$

$= \frac{e^2}{2} - 0 - \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4}$

$= \frac{2e^2 - e^2 + 1}{4}$

$= \frac{e^2 + 1}{4}$

(2) 同様に部分積分を用いて解く。$u = (\log x)^2$, $dv = x dx$ とすると、$du = 2 (\log x) \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{x^2}{2}$となる。

$\int_{1}^{e} x (\log x)^2 dx = \left[ \frac{x^2}{2} (\log x)^2 \right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^2}{2} \cdot 2 (\log x) \frac{1}{x} dx$

$= \left[ \frac{x^2}{2} (\log x)^2 \right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \log x dx$

$= \left[ \frac{x^2}{2} (\log x)^2 \right]_{1}^{e} - \frac{e^2 + 1}{4}$

$= \left( \frac{e^2}{2} (\log e)^2 - \frac{1^2}{2} (\log 1)^2 \right) - \frac{e^2 + 1}{4}$

$= \frac{e^2}{2} - 0 - \frac{e^2 + 1}{4}$

$= \frac{2e^2 - e^2 - 1}{4}$

$= \frac{e^2 - 1}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{e^2 + 1}{4}$

(2) $\frac{e^2 - 1}{4}$