$\lim_{x \to +0} \sin x \log x$ の極限を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to +0} \sin x \log x$ の極限を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x \to +0$ のとき $\sin x \to 0$ であり、$\log x \to -\infty$ となることに注意します。よって、$0 \times (-\infty)$ の不定形となります。

$\sin x \log x$ を $\frac{\log x}{\frac{1}{\sin x}}$ と変形すると、$\frac{-\infty}{\infty}$ の形になるので、ロピタルの定理が使えます。

まず、$\sin x$ を $x$ で近似すると、$\sin x \approx x$ ($x \to 0$) なので、

$\lim_{x \to +0} \sin x \log x = \lim_{x \to +0} x \log x$ となります。

ここで、ロピタルの定理を使うために、

$x \log x = \frac{\log x}{\frac{1}{x}}$ と変形します。

$\lim_{x \to +0} \frac{\log x}{\frac{1}{x}}$ は $\frac{-\infty}{\infty}$ の不定形なので、ロピタルの定理を使うと、

$\lim_{x \to +0} \frac{\log x}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to +0} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to +0} \frac{1}{x} \cdot (-x^2) = \lim_{x \to +0} (-x) = 0$

となります。

3. 最終的な答え

0