三角形において、$a=8$, $A=30^\circ$, $B=135^\circ$ であるとき、辺ACの長さ $b$ を求める問題です。

## 解答

### (3) の問題

1. 問題の内容

三角形において、$a=8$, $A=30^\circ$, $B=135^\circ$ であるとき、辺ACの長さ $b$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、三角形の内角の和は $180^\circ$ であることから、$C$ の角度を求めます。

$C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 30^\circ - 135^\circ = 15^\circ$

次に、正弦定理を用いて $b$ の値を求めます。正弦定理は以下の通りです。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

今回は、$a$ と $A$, $B$ がわかっているので、$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$ を用いて $b$ を求めます。

$\frac{8}{\sin 30^\circ} = \frac{b}{\sin 135^\circ}$

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ であり、$\sin 135^\circ = \sin (180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ なので、

$\frac{8}{\frac{1}{2}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

$16 = \frac{2b}{\sqrt{2}}$

$b = \frac{16\sqrt{2}}{2}$

$b = 8\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$b = 8\sqrt{2}$

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### (4) の問題

1. 問題の内容

三角形において、$a=\sqrt{15}$, $A=120^\circ$, $C=30^\circ$ であるとき、$B$ の角度と辺ACの長さ $b$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、三角形の内角の和は $180^\circ$ であることから、$B$ の角度を求めます。

$B = 180^\circ - A - C = 180^\circ - 120^\circ - 30^\circ = 30^\circ$

次に、正弦定理を用いて $b$ の値を求めます。正弦定理は以下の通りです。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

今回は、$a$ と $A$, $B$ がわかっているので、$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$ を用いて $b$ を求めます。

$\frac{\sqrt{15}}{\sin 120^\circ} = \frac{b}{\sin 30^\circ}$

$\sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ であり、$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ なので、

$\frac{\sqrt{15}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{b}{\frac{1}{2}}$

$\frac{2\sqrt{15}}{\sqrt{3}} = 2b$

$b = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{3}}$

$b = \sqrt{\frac{15}{3}}$

$b = \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$B = 30^\circ$

$b = \sqrt{5}$