座標空間内に3点A(4, 0, 2), B(0, 3, 5), C(5, 9, 0) がある。 (1) 原点Oから直線ABに下ろした垂線の足Hについて、$\vec{OH}$を$\vec{OA}$と$\vec{OB}$で表す。 (2) 点Cから直線ABに下ろした垂線の足H'について、$\vec{CH'}$を$\vec{CA}$と$\vec{CB}$で表す。 (3) 点Pを$\triangle PHH'$の面積が$\frac{\sqrt{34}}{4}$となるように線分OC上にとる。点Pから直線ABに下ろした垂線の足をQとするとき、PQを求める。

1. 問題の内容

座標空間内に3点A(4, 0, 2), B(0, 3, 5), C(5, 9, 0) がある。

(1) 原点Oから直線ABに下ろした垂線の足Hについて、$\vec{OH}$を$\vec{OA}$と$\vec{OB}$で表す。

(2) 点Cから直線ABに下ろした垂線の足H'について、$\vec{CH'}$を$\vec{CA}$と$\vec{CB}$で表す。

(3) 点Pを$\triangle PHH'$の面積が$\frac{\sqrt{34}}{4}$となるように線分OC上にとる。点Pから直線ABに下ろした垂線の足をQとするとき、PQを求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (-4, 3, 3)$

点Hは直線AB上にあるので、実数$t$を用いて$\vec{AH} = t \vec{AB}$と表せる。

$\vec{OH} = \vec{OA} + \vec{AH} = \vec{OA} + t \vec{AB} = (4-4t, 3t, 2+3t)$

$\vec{OH} \perp \vec{AB}$より、$\vec{OH} \cdot \vec{AB} = 0$

$(4-4t)(-4) + (3t)(3) + (2+3t)(3) = 0$

$-16 + 16t + 9t + 6 + 9t = 0$

$34t = 10$

$t = \frac{5}{17}$

$\vec{OH} = \vec{OA} + \frac{5}{17} \vec{AB} = \vec{OA} + \frac{5}{17} (\vec{OB} - \vec{OA}) = (1 - \frac{5}{17})\vec{OA} + \frac{5}{17} \vec{OB} = \frac{12}{17} \vec{OA} + \frac{5}{17} \vec{OB}$

(2)

点H'は直線AB上にあるので、実数$s$を用いて$\vec{AH'} = s \vec{AB}$と表せる。

$\vec{CH'} = \vec{CA} + \vec{AH'} = \vec{CA} + s \vec{AB} = \vec{CA} + s(\vec{CB} - \vec{CA}) = (1-s)\vec{CA} + s\vec{CB}$

$\vec{CH'} \perp \vec{AB}$より、$\vec{CH'} \cdot \vec{AB} = 0$

$\vec{CA} = (1, -9, 2), \vec{CB} = (-5, -6, 5)$

$\vec{AB} = (-4, 3, 3)$

$\vec{CH'} = (1-s, -9(1-s), 2(1-s)) + (-5s, -6s, 5s) = (1-6s, -9+3s, 2+3s)$

$\vec{CH'} \cdot \vec{AB} = (1-6s)(-4) + (-9+3s)(3) + (2+3s)(3) = 0$

$-4 + 24s -27 + 9s + 6 + 9s = 0$

$42s = 25$

$s = \frac{25}{42}$

$\vec{CH'} = (1-\frac{25}{42}) \vec{CA} + \frac{25}{42} \vec{CB} = \frac{17}{42} \vec{CA} + \frac{25}{42} \vec{CB}$

したがって、$\frac{17/42}{1/2} \vec{CA} + \frac{25/42}{1/2} \vec{CB} = \frac{17}{21} \vec{CA} + \frac{25}{21} \vec{CB}$

$\vec{CH'} = \frac{17}{42} (1, -9, 2) + \frac{25}{42} (-5, -6, 5) = (\frac{17-125}{42}, \frac{-153 - 150}{42}, \frac{34+125}{42}) = (-\frac{108}{42}, -\frac{303}{42}, \frac{159}{42}) = (-\frac{18}{7}, -\frac{101}{14}, \frac{53}{14})$

(3)

点PはOC上にあるので、実数$k$を用いて$\vec{OP} = k \vec{OC} = (5k, 9k, 0)$

$\vec{PH} = \vec{OH} - \vec{OP} = (\frac{12}{17} (4, 0, 2) + \frac{5}{17} (0, 3, 5)) - (5k, 9k, 0) = (\frac{48}{17} - 5k, \frac{15}{17} - 9k, \frac{24+25}{17})$

$= (\frac{48}{17} - 5k, \frac{15}{17} - 9k, \frac{49}{17})$

$\vec{PH'} = \vec{OH'} - \vec{OP} = \vec{OC} + \vec{CH'} - \vec{OP} = (5, 9, 0) + (-\frac{18}{7}, -\frac{101}{14}, \frac{53}{14}) - (5k, 9k, 0) = (5 - \frac{18}{7} - 5k, 9 - \frac{101}{14} - 9k, \frac{53}{14}) = (\frac{35-18}{7}-5k, \frac{126-101}{14}-9k, \frac{53}{14}) = (\frac{17}{7} - 5k, \frac{25}{14} - 9k, \frac{53}{14})$

$\vec{HH'} = \vec{OH'} - \vec{OH} = \vec{OC} + \vec{CH'} - \vec{OH} = (5, 9, 0) + (-\frac{18}{7}, -\frac{101}{14}, \frac{53}{14}) - (\frac{48}{17}, \frac{15}{17}, \frac{49}{17})$

$= (\frac{17}{7} - \frac{48}{17}, \frac{25}{14} - \frac{15}{17}, \frac{53}{14} - \frac{49}{17}) = (\frac{289 - 336}{119}, \frac{425-210}{238}, \frac{901-686}{238}) = (-\frac{47}{119}, \frac{215}{238}, \frac{215}{238})$

$\triangle PHH'$の面積 = $\frac{1}{2} |\vec{PH} \times \vec{PH'}| = \frac{\sqrt{34}}{4}$

点Pから直線ABに下ろした垂線の足をQとするとき、PQを求める。

ベクトル PQ はベクトル AB と垂直。

$\vec{OP} = k\vec{OC} = (5k,9k,0)$. また、点Pから直線ABに下ろした垂線の足をQとすると、点Qは直線AB上にあるので、実数$l$を用いて$\vec{AQ} = l\vec{AB} = l(-4,3,3)$と表せる。$\vec{OQ} = \vec{OA}+\vec{AQ} = (4-4l,3l,2+3l)$。

$\vec{PQ} = \vec{OQ}-\vec{OP} = (4-4l-5k,3l-9k,2+3l)$。$\vec{PQ}$と$\vec{AB}$が垂直より、$\vec{PQ} \cdot \vec{AB} = 0$。

$(4-4l-5k)(-4)+(3l-9k)(3)+(2+3l)(3) = -16+16l+20k+9l-27k+6+9l = 34l - 7k - 10 = 0$. $34l = 7k+10$.

PQ = $|\vec{PQ}|$

3. 最終的な答え

シス / セ = 5 / 2