与えられた図はアルミニウムの単位格子を表しており、いくつかの問いに答える問題です。 (1) 単位格子の名称を答えます。 (2) 単位格子に含まれるアルミニウム原子の数を答えます。 (3) 1つのアルミニウム原子に隣接するナトリウム原子の数を答えます。（問題文にナトリウムとありますが、アルミニウムと訂正して考えます。） (4) 単位格子の一辺の長さが $4.0 \times 10^{-8}$ cm のとき、アルミニウムの原子半径を求めます。 (5) アルミニウムの密度を求めます。

1. 問題の内容

与えられた図はアルミニウムの単位格子を表しており、いくつかの問いに答える問題です。

(1) 単位格子の名称を答えます。

(2) 単位格子に含まれるアルミニウム原子の数を答えます。

(3) 1つのアルミニウム原子に隣接するナトリウム原子の数を答えます。（問題文にナトリウムとありますが、アルミニウムと訂正して考えます。）

(4) 単位格子の一辺の長さが $4.0 \times 10^{-8}$ cm のとき、アルミニウムの原子半径を求めます。

(5) アルミニウムの密度を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 単位格子の名称:

与えられた図は面心立方格子です。単位格子の各頂点に原子があり、各面の中心にも原子があります。

(2) 単位格子に含まれるアルミニウム原子の数:

面心立方格子に含まれる原子の数は、

頂点の原子: $8 \times \frac{1}{8} = 1$ 個

面の中心の原子: $6 \times \frac{1}{2} = 3$ 個

合計: $1 + 3 = 4$ 個

したがって、単位格子中に含まれるアルミニウム原子の数は4個です。

(3) 1つのアルミニウム原子に隣接するアルミニウム原子の数:

面心立方格子において、1つのアルミニウム原子に隣接するアルミニウム原子の数は12個です。

(4) アルミニウムの原子半径:

面心立方格子において、原子は面対角線上で接しています。

単位格子の一辺の長さを $a$ とすると、面対角線の長さは $\sqrt{2} a$ です。

原子半径を $r$ とすると、$4r = \sqrt{2} a$ となります。

$r = \frac{\sqrt{2} a}{4} = \frac{1.41 \times 4.0 \times 10^{-8}}{4} = 1.41 \times 10^{-8}$ cm。

したがって、アルミニウムの原子半径は $1.41 \times 10^{-8}$ cm です。解答群から選ぶと、$1.4 \times 10^{-8}$ cm が最も近い値です。

(5) アルミニウムの密度:

密度 $\rho = \frac{m}{V}$

ここで、$m$ は単位格子中のアルミニウム原子の質量、$V$ は単位格子の体積です。

単位格子中のアルミニウム原子の質量 $m = \frac{4 \times 27}{6.0 \times 10^{23}}$ g

単位格子の体積 $V = (4.0 \times 10^{-8})^3 = 64 \times 10^{-24}$ cm$^3$

$\rho = \frac{\frac{4 \times 27}{6.0 \times 10^{23}}}{64 \times 10^{-24}} = \frac{4 \times 27}{6.0 \times 10^{23} \times 64 \times 10^{-24}} = \frac{108}{6 \times 6.4} = \frac{18}{6.4} = \frac{9}{3.2} = 2.8125 \approx 2.8$ g/cm$^3$

3. 最終的な答え

(1) 面心立方格子

(2) 4

(3) 12

(4) $1.4 \times 10^{-8}$ cm

(5) $2.8$ g/cm$^3$

与えられた解答欄には番号で答えるように指示されているので、

(1) 面心立方格子

(2) 2

(3) 4

(4) 1

(5) 2

が答えです。