関数 $y = 2\sin{2\theta} - 3(\sin{\theta} + \cos{\theta}) - 2$ が与えられている。 (1) $\theta = \frac{\pi}{4}$ のときの $y$ の値を求める。 (2) $t = \sin{\theta} + \cos{\theta}$ とおくとき、$\sin{2\theta}$ を $t$ を用いて表す。 (3) $\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{3\pi}{2}$ のとき、$y$ のとり得る値の範囲を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = 2\sin{2\theta} - 3(\sin{\theta} + \cos{\theta}) - 2$ が与えられている。

(1) $\theta = \frac{\pi}{4}$ のときの $y$ の値を求める。

(2) $t = \sin{\theta} + \cos{\theta}$ とおくとき、$\sin{2\theta}$ を $t$ を用いて表す。

(3) $\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{3\pi}{2}$ のとき、$y$ のとり得る値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\theta = \frac{\pi}{4}$ を与えられた関数に代入する。

$\sin{\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos{\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ である。

$\sin{2\theta} = \sin{\frac{\pi}{2}} = 1$ である。

したがって、

$y = 2(1) - 3(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) - 2 = 2 - 3\sqrt{2} - 2 = -3\sqrt{2}$.

(2) $t = \sin{\theta} + \cos{\theta}$ の両辺を2乗する。

$t^2 = (\sin{\theta} + \cos{\theta})^2 = \sin^2{\theta} + 2\sin{\theta}\cos{\theta} + \cos^2{\theta} = 1 + 2\sin{\theta}\cos{\theta}$.

ここで、$2\sin{\theta}\cos{\theta} = \sin{2\theta}$ であるから、

$t^2 = 1 + \sin{2\theta}$ となる。

したがって、$\sin{2\theta} = t^2 - 1$ である。

(3) $y$ を $t$ を用いて表す。

$y = 2\sin{2\theta} - 3(\sin{\theta} + \cos{\theta}) - 2 = 2(t^2 - 1) - 3t - 2 = 2t^2 - 3t - 4$.

ここで、$t = \sin{\theta} + \cos{\theta} = \sqrt{2}\sin(\theta + \frac{\pi}{4})$ である。

$\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{3\pi}{2}$ より、$\frac{3\pi}{4} < \theta + \frac{\pi}{4} < \frac{7\pi}{4}$ である。

したがって、$-1 \leq \sin(\theta + \frac{\pi}{4}) < \frac{\sqrt{2}}{2}$ である。

よって、$-\sqrt{2} \leq t < 1$.

$y = 2t^2 - 3t - 4 = 2(t - \frac{3}{4})^2 - \frac{41}{8}$ である。

$t = \frac{3}{4}$ は $-\sqrt{2} \leq t < 1$ の範囲に含まれる。

$t = \frac{3}{4}$ のとき、$y = -\frac{41}{8}$ であり、これが最小値となる。

$t = -\sqrt{2}$ のとき、$y = 2(-\sqrt{2})^2 - 3(-\sqrt{2}) - 4 = 4 + 3\sqrt{2} - 4 = 3\sqrt{2}$ である。

$t \to 1$ のとき、$y \to 2(1)^2 - 3(1) - 4 = 2 - 3 - 4 = -5$ である。

したがって、$-\frac{41}{8} \leq y < 3\sqrt{2}$.

3. 最終的な答え

(1) $y = -3\sqrt{2}$

(2) $\sin{2\theta} = t^2 - 1$

(3) $-\frac{41}{8} \leq y < 3\sqrt{2}$