$\sqrt{x^2 + \sqrt{(x-2)^2}}$ を、$x$ の範囲によって根号を外して簡単にせよ。 (ア) $x < 0$ (イ) $0 \le x < 2$ (ウ) $2 \le x$

1. 問題の内容

$\sqrt{x^2 + \sqrt{(x-2)^2}}$ を、$x$ の範囲によって根号を外して簡単にせよ。

(ア) $x < 0$

(イ) $0 \le x < 2$

(ウ) $2 \le x$

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{(x-2)^2}$を考えます。一般に$\sqrt{a^2} = |a|$であることを利用します。

したがって、$\sqrt{(x-2)^2} = |x-2|$となります。

次に、$x$の範囲によって、$|x-2|$の絶対値を外します。

(ア) $x < 0$のとき、$x-2 < 0$なので、$|x-2| = -(x-2) = -x+2$

(イ) $0 \le x < 2$のとき、$x-2 < 0$なので、$|x-2| = -(x-2) = -x+2$

(ウ) $2 \le x$のとき、$x-2 \ge 0$なので、$|x-2| = x-2$

そして、$|x-2|$の値を$\sqrt{x^2 + |x-2|}$に代入し、さらに根号を外します。

(ア) $x < 0$のとき、

$\sqrt{x^2 + |x-2|} = \sqrt{x^2 - x + 2}$

この式はこれ以上簡単にできません。

(イ) $0 \le x < 2$のとき、

$\sqrt{x^2 + |x-2|} = \sqrt{x^2 - x + 2}$

この式はこれ以上簡単にできません。

(ウ) $2 \le x$のとき、

$\sqrt{x^2 + |x-2|} = \sqrt{x^2 + x - 2} = \sqrt{(x+2)(x-1)}$

この式はこれ以上簡単にできません。

3. 最終的な答え

(ア) $x < 0$のとき：$\sqrt{x^2 - x + 2}$

(イ) $0 \le x < 2$のとき：$\sqrt{x^2 - x + 2}$

(ウ) $2 \le x$のとき：$\sqrt{x^2 + x - 2}$