2つの円 O と O' があり、半径はそれぞれ6と3である。直線ABは2つの円の共通接線であり、A, Bは接点である。OとO'の中心間の距離が12であるとき、線分ABの長さを求めよ。

1. 問題の内容

2つの円 O と O' があり、半径はそれぞれ6と3である。直線ABは2つの円の共通接線であり、A, Bは接点である。OとO'の中心間の距離が12であるとき、線分ABの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、点O'から線分OAに垂線を下ろし、交点をCとする。

三角形OO'Cは直角三角形になる。

線分OCの長さは、大きい円の半径から小さい円の半径を引いたものである。

したがって、$OC = 6 - 3 = 3$。

線分OO'の長さは12である。

三平方の定理より、$OO'^2 = OC^2 + O'C^2$が成り立つ。

したがって、$12^2 = 3^2 + O'C^2$。

$144 = 9 + O'C^2$

$O'C^2 = 144 - 9 = 135$

$O'C = \sqrt{135} = \sqrt{9 \times 15} = 3\sqrt{15}$

線分ABの長さは、線分O'Cの長さに等しい。

したがって、$AB = O'C = 3\sqrt{15}$。

3. 最終的な答え

$3\sqrt{15}$