与えられた3つの式について、分母を有理化し、できる限り簡単にせよ。 (1) $\frac{4}{3\sqrt{8}}$ (2) $\frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ (3) $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}+2} - \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}-2}$

1. 問題の内容

与えられた3つの式について、分母を有理化し、できる限り簡単にせよ。

(1) $\frac{4}{3\sqrt{8}}$

(2) $\frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$

(3) $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}+2} - \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}-2}$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{4}{3\sqrt{8}}$の分母の有理化

まず、$\sqrt{8}$を簡略化します。

$\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$

したがって、

$\frac{4}{3\sqrt{8}} = \frac{4}{3(2\sqrt{2})} = \frac{4}{6\sqrt{2}} = \frac{2}{3\sqrt{2}}$

次に、分母を有理化するために、分子と分母に$\sqrt{2}$を掛けます。

$\frac{2}{3\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3(\sqrt{2})^2} = \frac{2\sqrt{2}}{3 \times 2} = \frac{2\sqrt{2}}{6} = \frac{\sqrt{2}}{3}$

(2) $\frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$の分母の有理化

それぞれの分数を有理化します。

$\frac{1}{1+\sqrt{2}} = \frac{1(1-\sqrt{2})}{(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})} = \frac{1-\sqrt{2}}{1 - 2} = \frac{1-\sqrt{2}}{-1} = -1+\sqrt{2}$

$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \frac{1(\sqrt{2}-\sqrt{3})}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2 - 3} = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{-1} = -\sqrt{2}+\sqrt{3}$

したがって、

$\frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} = (-1+\sqrt{2}) + (-\sqrt{2}+\sqrt{3}) = -1 + \sqrt{3}$

(3) $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}+2} - \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}-2}$の分母の有理化

それぞれの分数を有理化します。

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}+2} = \frac{\sqrt{5}(\sqrt{3}-2)}{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)} = \frac{\sqrt{15}-2\sqrt{5}}{3 - 4} = \frac{\sqrt{15}-2\sqrt{5}}{-1} = -\sqrt{15}+2\sqrt{5}$

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}-2} = \frac{\sqrt{5}(\sqrt{3}+2)}{(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)} = \frac{\sqrt{15}+2\sqrt{5}}{3 - 4} = \frac{\sqrt{15}+2\sqrt{5}}{-1} = -\sqrt{15}-2\sqrt{5}$

したがって、

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}+2} - \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}-2} = (-\sqrt{15}+2\sqrt{5}) - (-\sqrt{15}-2\sqrt{5}) = -\sqrt{15}+2\sqrt{5} + \sqrt{15}+2\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{2}}{3}$

(2) $-1+\sqrt{3}$

(3) $4\sqrt{5}$