半径が3の円Oと半径が2の円O'が外接している。共通接線が円Oと点A、円O'と点Bで接している。この時、線分ABの長さを求める問題。

1. 問題の内容

半径が3の円Oと半径が2の円O'が外接している。共通接線が円Oと点A、円O'と点Bで接している。この時、線分ABの長さを求める問題。

2. 解き方の手順

まず、Oから線分O'Bに垂線を下ろし、交点をCとする。すると、三角形OO'Cは直角三角形となる。

線分OO'の長さは、2つの円が外接しているので、半径の和となる。つまり、

$OO' = 3 + 2 = 5$

線分O'Cの長さは、O'BからOCを引いたもの。OCの長さはOAと等しいので、

$O'C = O'B - OC = 2 - 3 = -1$

これはおかしいので、O'Bに垂線を下ろすのではなく、O'からOAに垂線を下ろし交点をCとする。

すると、線分O'Cの長さは、OAからO'Bを引いたもの。つまり、

$O'C = OA - O'B = 3 - 2 = 1$

線分OO'は5。三角形OO'Cは直角三角形なので、ピタゴラスの定理より、

$OC^2 + O'C^2 = OO'^2$

$OC^2 + 1^2 = 5^2$

$OC^2 + 1 = 25$

$OC^2 = 24$

$OC = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$

線分ABの長さはOCの長さに等しいので、

$AB = OC = 2\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{6}$