(1) $d_1 = \begin{vmatrix} -1 & 2 & 3 & 2 \\ 1 & -1 & -2 & 1 \\ 0 & 3 & 5 & 2 \\ 2 & -2 & 6 & 9 \end{vmatrix}$ の行列式の値を求める。 (2) $d_2 = \begin{vmatrix} a & b & c & c \\ c & b & a & c \\ b & c & b & a \\ c & b & c & a \end{vmatrix}$ の行列式の値を因数分解した形で求める。

1. 問題の内容

(1) $d_1 = \begin{vmatrix} -1 & 2 & 3 & 2 \\ 1 & -1 & -2 & 1 \\ 0 & 3 & 5 & 2 \\ 2 & -2 & 6 & 9 \end{vmatrix}$ の行列式の値を求める。

(2) $d_2 = \begin{vmatrix} a & b & c & c \\ c & b & a & c \\ b & c & b & a \\ c & b & c & a \end{vmatrix}$ の行列式の値を因数分解した形で求める。

2. 解き方の手順

(1) $d_1$ の計算

第1行を基準に展開するよりも、行基本変形を行って計算を簡単にする。

第1行に第2行を加える。

$\begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & -2 & 1 \\ 0 & 3 & 5 & 2 \\ 2 & -2 & 6 & 9 \end{vmatrix}$

第4行から第2行の2倍を引く。

$\begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & -2 & 1 \\ 0 & 3 & 5 & 2 \\ 0 & 0 & 10 & 7 \end{vmatrix}$

第1列について展開する。

$(-1)^{2+1} \cdot 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 3 & 5 & 2 \\ 0 & 10 & 7 \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 3 & 5 & 2 \\ 0 & 10 & 7 \end{vmatrix}$

さらに行列式を展開する。

$-\left( 1(5\cdot7 - 2\cdot10) - 1(3\cdot7 - 2\cdot0) + 3(3\cdot10 - 5\cdot0) \right) = -(35-20 - 21 + 3(30)) = -(15 - 21 + 90) = -( -6 + 90) = -84$

(2) $d_2$ の計算

まず、$C_1 + C_2 + C_3 + C_4$ を計算すると、全ての要素が $a+b+2c$ となることを利用する。

$d_2 = \begin{vmatrix} a & b & c & c \\ c & b & a & c \\ b & c & b & a \\ c & b & c & a \end{vmatrix}$

$C_1$ に $C_2, C_3, C_4$ を加算する。

$\begin{vmatrix} a+b+2c & b & c & c \\ a+b+2c & b & a & c \\ a+b+2c & c & b & a \\ a+b+2c & b & c & a \end{vmatrix} = (a+b+2c) \begin{vmatrix} 1 & b & c & c \\ 1 & b & a & c \\ 1 & c & b & a \\ 1 & b & c & a \end{vmatrix}$

次に、行の引き算を行う。

$R_2 - R_1, R_3 - R_1, R_4 - R_1$

$(a+b+2c) \begin{vmatrix} 1 & b & c & c \\ 0 & 0 & a-c & 0 \\ 0 & c-b & b-c & a-c \\ 0 & 0 & 0 & a-c \end{vmatrix} = (a+b+2c) \begin{vmatrix} 0 & 0 & a-c & 0 \\ c-b & b-c & a-c \\ 0 & 0 & 0 & a-c \end{vmatrix}$

$= (a+b+2c)(1) \begin{vmatrix} 0 & a-c & 0 \\ c-b & b-c & a-c \\ 0 & 0 & a-c \end{vmatrix}$

$= (a+b+2c) (-(c-b)(a-c)(a-c)) = (a+b+2c)(-(c-b)(a-c)^2) = (a+b+2c)(b-c)(a-c)^2$

3. 最終的な答え

(1) $d_1 = -84$

(2) $d_2 = (a+b+2c)(b-c)(a-c)^2$