右の図において、線分BPと線分PCの比、つまり$BP:PC$を求めよ。ただし、図には角の二等分線に関する情報が与えられており、$AR:RB=5:4$, $AQ:QC = 3:4$である。

1. 問題の内容

右の図において、線分BPと線分PCの比、つまり$BP:PC$を求めよ。ただし、図には角の二等分線に関する情報が与えられており、$AR:RB=5:4$, $AQ:QC = 3:4$である。

2. 解き方の手順

この問題では、角の二等分線の性質を利用する。点Aから辺BCに下ろした垂線の足をHとすると、直線AOは∠BACの二等分線である。

角の二等分線の性質から、

$AB:AC=BR:RC$。

同様に、点Bから辺ACに下ろした垂線の足をIとすると、直線BOは∠ABCの二等分線である。

角の二等分線の性質から、

$BA:BC=AP:PC$。

チェバの定理を用いると

$\frac{AR}{RB} \times \frac{BP}{PC} \times \frac{CQ}{QA} = 1$

が成り立つ。

図から$AR:RB = 5:4$、$AQ:QC = 3:4$なので、$CQ:QA = 4:3$となる。

これらをチェバの定理の式に代入すると、

$\frac{5}{4} \times \frac{BP}{PC} \times \frac{4}{3} = 1$

$\frac{BP}{PC} = \frac{1}{\frac{5}{4} \times \frac{4}{3}}$

$\frac{BP}{PC} = \frac{1}{\frac{5}{3}}$

$\frac{BP}{PC} = \frac{3}{5}$

したがって、$BP:PC = 3:5$となる。

3. 最終的な答え

$BP:PC = 3:5$