画像の問題は、三角関数の加法定理とその応用に関する計算問題です。具体的には、$\sin(\alpha + \beta)$、$\cos(\alpha - \beta)$の計算、三角関数の値から別の三角関数の値を求め、それらを用いて$\sin(\alpha+\beta)$、$\cos(\alpha-\beta)$を求める問題、三角関数の不等式を解く問題、そして2直線のなす角を求める問題が含まれています。

1. 問題の内容

画像の問題は、三角関数の加法定理とその応用に関する計算問題です。具体的には、$\sin(\alpha + \beta)$、$\cos(\alpha - \beta)$の計算、三角関数の値から別の三角関数の値を求め、それらを用いて$\sin(\alpha+\beta)$、$\cos(\alpha-\beta)$を求める問題、三角関数の不等式を解く問題、そして2直線のなす角を求める問題が含まれています。

2. 解き方の手順

まず、問題文に与えられた条件から必要な情報を読み取ります。

(1) $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$で$\sin \alpha = \frac{4}{5}$なので、$\cos \alpha$を求めます。$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$より、$\cos^2 \alpha = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$。$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$なので$\cos \alpha < 0$であり、$\cos \alpha = -\frac{3}{5}$となります。

(2) $\pi < \beta < \frac{3}{2}\pi$で$\cos \beta = -\frac{3}{5}$なので、$\sin \beta$を求めます。$\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$より、$\sin^2 \beta = 1 - (-\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$。$\pi < \beta < \frac{3}{2}\pi$なので$\sin \beta < 0$であり、$\sin \beta = -\frac{4}{5}$となります。

次に、加法定理を用いて$\sin(\alpha+\beta)$と$\cos(\alpha-\beta)$を求めます。

$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = (\frac{4}{5})(-\frac{3}{5}) + (-\frac{3}{5})(-\frac{4}{5}) = -\frac{12}{25} + \frac{12}{25} = 0$

$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta = (-\frac{3}{5})(-\frac{3}{5}) + (\frac{4}{5})(-\frac{4}{5}) = \frac{9}{25} - \frac{16}{25} = -\frac{7}{25}$

三角関数の不等式について:

(1) $\sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$の解は、$\theta = \frac{4}{3}\pi, \frac{5}{3}\pi$

$\cos \theta < -\frac{1}{\sqrt{2}}$の解は、$\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{3}{4}\pi$

(2) $\sin(\theta-\frac{\pi}{3}) > -\frac{1}{2}$の解は、$\theta-\frac{\pi}{3}$の範囲を考えることで $\theta$の範囲を求める。$-\frac{\pi}{6} < \theta - \frac{\pi}{3} < \frac{7}{6}\pi$となる。よって$\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{9}{6}\pi = \frac{3}{2}\pi$

2直線のなす角について:

$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$

直線$y = 2x - 1$とx軸のなす角を$\alpha$とすると、$\tan \alpha = 2$

直線$y = \frac{1}{3}x + 1$とx軸のなす角を$\beta$とすると、$\tan \beta = \frac{1}{3}$

2直線のなす角$\theta$は$\alpha - \beta$であるから、加法定理を利用すると

$\tan \theta = \tan (\alpha - \beta) = \frac{2 - \frac{1}{3}}{1 + 2 \times \frac{1}{3}} = \frac{\frac{5}{3}}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{\frac{5}{3}}{\frac{5}{3}} = 1$

よって$\theta = \frac{\pi}{4}$である。

3. 最終的な答え

(1) $\cos \alpha = -\frac{3}{5}$

$\sin \beta = -\frac{4}{5}$

$\sin(\alpha + \beta) = 0$

$\cos(\alpha - \beta) = -\frac{7}{25}$

(2) $\sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$の解は、$\theta = \frac{4}{3}\pi, \frac{5}{3}\pi$

$\cos \theta < -\frac{1}{\sqrt{2}}$の解は、$\frac{3}{4}\pi < \theta < \frac{5}{4}\pi$

(3) $\sin(\theta-\frac{\pi}{3}) > -\frac{1}{2}$の解は、$\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{3}{2}\pi$

(4) $\tan(\alpha-\beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta} = \frac{2 - \frac{1}{3}}{1 + 2 \cdot \frac{1}{3}} = \frac{1}{1}=1$

$\theta = \frac{\pi}{4}$