平面上の三角形ABCにおいて、AB=10, BC=6, CA=8である。三角形ABCの外心をO、内心をIとし、OからIへ伸ばした半直線と外接円との交点をM、IからOへ伸ばした半直線と外接円との交点をNとする。このとき、 (1) 三角形ABCの外接円の半径Rと内接円の半径rを求めよ。 (2) 線分OIの長さを求めよ。 (3) 線分IM, INの長さを求めよ。

1. 問題の内容

平面上の三角形ABCにおいて、AB=10, BC=6, CA=8である。三角形ABCの外心をO、内心をIとし、OからIへ伸ばした半直線と外接円との交点をM、IからOへ伸ばした半直線と外接円との交点をNとする。このとき、

(1) 三角形ABCの外接円の半径Rと内接円の半径rを求めよ。

(2) 線分OIの長さを求めよ。

(3) 線分IM, INの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、三角形ABCの形状を確認する。 $AB^2 = 100$, $BC^2 = 36$, $CA^2 = 64$ なので、$BC^2 + CA^2 = 36 + 64 = 100 = AB^2$ となり、三角形ABCは角Cが直角の直角三角形である。

外接円の半径Rは、直角三角形の外接円の中心が斜辺の中点であることから、$R = \frac{AB}{2} = \frac{10}{2} = 5$。

内接円の半径rは、$r = \frac{BC + CA - AB}{2} = \frac{6 + 8 - 10}{2} = \frac{4}{2} = 2$。

(2) OIの長さは、オイラーの定理 $OI^2 = R(R-2r)$ を用いて計算する。

$OI^2 = 5(5 - 2*2) = 5(5-4) = 5*1 = 5$

したがって、$OI = \sqrt{5}$。

(3) IMの長さを求める。角OAI = 角OIAであり、円周角の定理から角NAC = 角NBCとなるので, 角NAI = 角NIA。 よって、IN = NAとなる。また，角MAI = 角MBIなので、IM = MBとなる。直角三角形ABCの外接円の中心は、斜辺ABの中点であるので、OはABの中点である。

$IM = MB = \sqrt{R^2 - (\frac{AB}{2})^2} = R=5$

また、INを求めるために、方べきの定理を用いる。

$OI \times ON = R^2$

$IN \times OI = AI \times NI$

したがって、

$IM = R = 5$

$IN = NA$

$OI = \sqrt{5}$

$AI = \frac{r}{sin(\frac{A}{2})}$

$IN = AI$

$IN = \sqrt{R^2+r^2}$

$IN = \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) 外接円の半径R = 5、内接円の半径r = 2

(2) 線分OIの長さ = $\sqrt{5}$

(3) 線分IMの長さ = 5、線分INの長さ = 5