与えられた式 $a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を次のように書きます。

$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2$

この式を因数分解するために、いくつかの項をグループ化してみます。例えば、$a$について整理してみます。

$a^2b + ca^2 + ab^2 + c^2a + b^2c + bc^2$

$a^2(b+c) + a(b^2+c^2) + bc(b+c)$

ここで、$b^2+c^2 = (b+c)^2-2bc$ であることを利用すると、

$a^2(b+c) + a((b+c)^2 - 2bc) + bc(b+c)$

$(b+c) [a^2 + a(b+c) - 2abc/ (b+c) + bc]$

しかし、この方法はあまりうまくいきません。別の方法を試します。

$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2$

$= a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc - 2abc$ (補完)

$= a^2b + ab^2 + abc + b^2c + bc^2 + abc + c^2a + ca^2 -2abc$

$= ab(a+b+c) + bc(a+b+c) + ca(a+c) - 2abc$

元の式を $a$ について整理すると、次のようになります。

$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2$

$= a^2(b+c) + a(b^2+c^2) + b^2c + bc^2$

$= a^2(b+c) + a(b^2 + 2bc + c^2 - 2bc) + bc(b+c)$

$= a^2(b+c) + a((b+c)^2 - 2bc) + bc(b+c)$

$= (b+c)(a^2 + a(b+c) + bc) -2abc$

$= (b+c)(a+b)(a+c)$

$= (a+b)(b+c)(c+a)$

したがって、与えられた式は $(a+b)(b+c)(c+a)$ に因数分解できます。

$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 = (a+b)(b+c)(c+a)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$