与えられた対数の式を計算せよ。 $4 \log_4 \sqrt{2} + \frac{1}{2} \log_4 \frac{1}{8} - \frac{3}{2} \log_4 8$

1. 問題の内容

与えられた対数の式を計算せよ。

$4 \log_4 \sqrt{2} + \frac{1}{2} \log_4 \frac{1}{8} - \frac{3}{2} \log_4 8$

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を用いて、係数を対数の中に入れる。

$\log_a x^n = n \log_a x$

これを用いて式を変形する。

$4 \log_4 \sqrt{2} = \log_4 (\sqrt{2})^4 = \log_4 4 = 1$

$\frac{1}{2} \log_4 \frac{1}{8} = \log_4 (\frac{1}{8})^{\frac{1}{2}} = \log_4 \frac{1}{\sqrt{8}} = \log_4 \frac{1}{2\sqrt{2}}$

$\frac{3}{2} \log_4 8 = \log_4 8^{\frac{3}{2}} = \log_4 (2^3)^{\frac{3}{2}} = \log_4 2^{\frac{9}{2}} = \log_4 (2^{\frac{1}{2}})^9 = \log_4 (\sqrt{2})^9 = \log_4 16\sqrt{2} = \log_4 (2^4)\sqrt{2}$

次に、対数の和と差を、対数の積と商に変換する。

$\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)$

$\log_a x - \log_a y = \log_a (\frac{x}{y})$

与えられた式にこれらの性質を適用すると、

$\log_4 4 + \log_4 \frac{1}{2\sqrt{2}} - \log_4 16\sqrt{2} = \log_4 \frac{4}{2\sqrt{2}} - \log_4 16\sqrt{2}$

$= \log_4 \frac{\frac{4}{2\sqrt{2}}}{16\sqrt{2}} = \log_4 \frac{4}{2\sqrt{2} \cdot 16\sqrt{2}} = \log_4 \frac{4}{2 \cdot 16 \cdot 2} = \log_4 \frac{4}{64} = \log_4 \frac{1}{16}$

$= \log_4 4^{-2} = -2 \log_4 4 = -2$

3. 最終的な答え

-2