問題用紙に記載された数学の問題を解く。問題は以下の8個である。 1. 食塩水の濃度を求める。

1. 問題の内容

問題用紙に記載された数学の問題を解く。問題は以下の8個である。

1. 食塩水の濃度を求める。

2. 食塩水の濃度を一定にするために必要な食塩の量を求める。

3. 一次関数のグラフを描き、x切片とy切片の座標を求める。

4. 連立方程式を解く。

5. 直線とx軸で囲まれた三角形の面積を求める。

6. 式を展開する。

7. 式を因数分解する。

8. リンゴと梨の購入個数を求める。

2. 解き方の手順

1. 食塩水の濃度を求める。

- 食塩水の濃度 = (食塩の量 / 食塩水の量) * 100

- 食塩水の量 = x + 30

- 食塩の量 = 30

- 食塩水の濃度 = $\frac{30}{x+30} \times 100$

2. 食塩水の濃度を一定にするために必要な食塩の量を求める。

- 5%の食塩水120gに含まれる食塩の量 = 120 * 0.05 = 6g

- 20%の食塩水を作るための式: $\frac{6+x}{120+x} = 0.2$

- $6+x = 24 + 0.2x$

- $0.8x = 18$

- $x = \frac{18}{0.8} = \frac{180}{8} = \frac{45}{2} = 22.5$

3. 一次関数のグラフを描き、x切片とy切片の座標を求める。

- $0.2x - 0.1y = -0.2$ を変形して $y = 2x + 2$

- $6x + y = -\frac{2}{3}$ を変形して $y = -6x - \frac{2}{3}$

- $y = 2x + 2$ のx切片は、y=0の時 $2x+2=0$ より $x=-1$。 よって(-1,0)。

- $y = 2x + 2$ のy切片は、x=0の時 $y=2$。 よって(0,2)。

- $y = -6x - \frac{2}{3}$ のx切片は、y=0の時 $-6x - \frac{2}{3} = 0$ より $x = -\frac{1}{9}$。 よって $(-\frac{1}{9},0)$。

- $y = -6x - \frac{2}{3}$ のy切片は、x=0の時 $y = -\frac{2}{3}$。 よって $(0,-\frac{2}{3})$。

4. 連立方程式を解く。

- (1)

- $x + y = -2$

- $3x - y = 0$

- 2つの式を足すと $4x = -2$ より $x = -\frac{1}{2}$

- $y = 3x = -\frac{3}{2}$

- (2)

- $x + 4y + 3z = 7$

- $-2x + y + z = 1$

- $3x - y - 2z = 2$

- 2番目の式を2倍して $-4x + 2y + 2z = 2$。これを3番目の式と足すと $-x + y = 4$ より $y = x + 4$

- 1番目の式と2番目の式を足すと $-x + 5y + 4z = 8$。$y = x + 4$ を代入して $-x + 5(x + 4) + 4z = 8$ より $4x + 4z = -12$。 よって $x+z = -3$。したがって $z = -x - 3$

- $y = x+4$ と $z = -x-3$ を2番目の式に代入すると $-2x + (x+4) + (-x-3) = 1$。$-2x + x + 4 - x - 3 = 1$。$-2x + 1 = 1$。よって $x=0$。

- したがって $y = 4, z = -3$。

5. 直線とx軸で囲まれた三角形の面積を求める。

- $y = 2x + 10$ と直交する直線の傾きは $-\frac{1}{2}$。よって直線の式は $y = -\frac{1}{2}x + b$

- 交点のx座標を求める。$2x + 10 = -\frac{1}{2}x + b$

- $y = 2x + 10$ のx切片は $2x + 10 = 0$ より $x = -5$。

- $y = -\frac{1}{2}x + b$ のx切片は $-\frac{1}{2}x + b = 0$ より $x = 2b$。

- 交点のy座標は0ではないので、面積Sは求められない。条件が不足している。

6. 式を展開する。

- $(x+3y)^2 = x^2 + 6xy + 9y^2$

- $(a-b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$

7. 式を因数分解する。

- $x^2 - 8x + 16 = (x-4)^2$

- $4a^2 - 9b^2 = (2a-3b)(2a+3b)$

8. リンゴと梨の購入個数を求める。

- リンゴの個数をxとすると、梨の個数は10-x

- $100x + 150(10-x) = 1250$

- $100x + 1500 - 150x = 1250$

- $-50x = -250$

- $x = 5$

- リンゴ5個、梨5個

3. 最終的な答え

1. $\frac{3000}{x+30}\%$

2. $x = 22.5$

3. グラフは省略。x切片: (-1,0), y切片: (0,2) および x切片: (-1/9, 0), y切片(0, -2/3)

4. (1) x = -1/2, y = -3/2 (2) x = 0, y = 4, z = -3

5. 条件不足のため求められない

6. $(x+3y)^2 = x^2 + 6xy + 9y^2$、$ (a-b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$

7. $x^2 - 8x + 16 = (x-4)^2$、$ 4a^2 - 9b^2 = (2a-3b)(2a+3b)$

8. リンゴ5個、梨5個