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次の不定積分を求めよ。 $\int (-8x^4) dx$

解析学不定積分積分積分計算数式処理
2025/4/5

1. 問題の内容

次の不定積分を求めよ。
∫(−8x4)dx\int (-8x^4) dx

2. 解き方の手順

不定積分の公式 ∫xndx=xn+1n+1+C\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C を用いて計算します。ここで、CCは積分定数です。
まず、定数倍の性質より、
∫(−8x4)dx=−8∫x4dx\int (-8x^4) dx = -8 \int x^4 dx
次に、x4x^4の積分を計算します。
∫x4dx=x4+14+1+C=x55+C\int x^4 dx = \frac{x^{4+1}}{4+1} + C = \frac{x^5}{5} + C
したがって、
−8∫x4dx=−8(x55+C)=−85x5+C′-8 \int x^4 dx = -8 \left( \frac{x^5}{5} + C \right) = -\frac{8}{5}x^5 + C'
ここで、C′=−8CC'=-8C は新たな積分定数です。

3. 最終的な答え

−85x5+C-\frac{8}{5}x^5 + C

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